矢量分析导论 ▣矢性函数 ·矢端曲线的参数方程： 下=x(t)龙+y(t)少+z(t)月 矢性函数的终端M是I上的一个动点，其三个坐 标x,y,z随的变化规律分别为： x=A.(t) y=A(t) 曲线的参数方程 T=A 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 8 矢量分析导论 矢性函数 • 矢端曲线的参数方程： 矢端曲线的参数方程： • 矢性函数的终端 矢性函数的终端M是l上的一个动点，其三个坐 上的一个动点，其三个坐 标x，y，z随t的变化规律分别为： 的变化规律分别为： r xtx yt y ztz = () () () + +ˆ ˆ v ) tAx )( = x tAy )( = y tAz )( = z 曲线l的参数方程 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ■ 矢性函数的导数与微分 ·导数 。设A是的矢性函数，当数性变量t在 其定义域内从变到t+△（△t≠0）时， 对应的矢量从4)变化到A(t+△t),则 称△4=A(t+△)-A()为A()对应于△t的 增量。 A 令： lim =lim A(t+△t)-A(t A(t) △A △t→0 △t △1→0 △t A(t+△t) 若极限存在，则称矢性函数在处可 导，且为矢性函数在处的导数。 2009-3-1 9 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 9 矢量分析导论 矢性函数的导数与微分 矢性函数的导数与微分 • 导数 • 设 是t的矢性函数，当数性变量 的矢性函数，当数性变量t在 其定义域内从t变到 时， 对应的矢量从 变化到 ，则 称 为 对应于 的 增量。 • 令： 若极限存在，则称矢性函数在 若极限存在，则称矢性函数在t处可 导，且为矢性函数在 导，且为矢性函数在t处的导数。 tA )( r + Δ Δttt ≠ )0( tA )( r Δ+ ttA )( r tAttAA )()( r r r −Δ+=Δ tA )( r Δt 0 0 ( ) () lim lim t t A At t At t t Δ→ Δ→ Δ +Δ − = Δ Δ r r r O A t( ) v Δ+ ttA )( v A v Δ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 设矢性函数A0=A,()+A,()D+A0)的三个分 量4,0,40，A0在处均可导，则有： dA △4 0△t =lim △A A 0△ +四 d4+ dA dA dt "dt dt 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 导数的计算； 。 矢性函数的导数仍为矢量； 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 10
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 矢量分析导论 • 设矢性函数 的三个分 量 ， ， 在t处均可导，则有： 处均可导，则有： • 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 导数的计算； • 矢性函数的导数仍为矢量； 矢性函数的导数仍为矢量； x )()( ˆ y )( ˆ ++= z )( ztAytAxtAtA ˆ r tA )( x tA )( y tA )(z z t A y t A x t A t A dt Ad z t y t x t t lim lim ˆ lim ˆ lim ˆ 0 0 0 0 Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ = Δ Δ = →Δ →Δ →Δ →Δ r r z dt dA y dt dA x dt dAx y z ˆˆ ++= ˆ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ·导矢的几何意义 △t02 指向与△4一致，指向 △ 值增大的方： A(t) A At+△t) △1<0， 指向与△A相反，由于 △d △r>0 △小于0，所以导失仍然指向值增大 N 的一方 A() A(t+△) A M ■△t-→0，割线MN绕M转动，其极限 △t A(t) 位置为M处（即点）的切线，而导矢 △r<0 为处割线向量的极限，即与切线平行 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 11 矢量分析导论 • 导矢的几何意义 导矢的几何意义 ， 指向与 一致，指向t 值增大的一方； ， 指向与 相反，由于 △t小于0，所以导矢仍然指向t值增大 的一方； ，割线MN绕M转动，其极限 位置为M处（即t点）的切线，而导矢 为t处割线向量的极限，即与切线平行 t >Δ 0 t A Δ Δ r A r Δ Δ <t 0 t A Δ Δ r A r Δ t →Δ 0 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 导矢的几何意义 dA lim dt 0△ ·综上所述 导矢是矢端曲线在处的切向矢量，其指向对应 增大的一方； dr 为切向单位矢。 d EDU 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 12
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 12 矢量分析导论 导矢的几何意义 导矢的几何意义 • 综上所述 • 导矢是矢端曲线在 导矢是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应 处的切向矢量，其指向对应 t增大的一方 ； • 为切向单位矢。 为切向单位矢。 t A dt Ad t Δ Δ = →Δ r r 0 lim dr ds r XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN