以图示梁为例，写出虚功原理的具体表达式：W =Fo, +Fo, +...+F,o, =ZF,略去Fs的影响：Yd(sW)=s(do)s(d0)82o(M(x)+dM) M(x22de= M(x)s(d0)(x)M, (X) +dM, (X)W, = [ M(x)8(de)ZFN, =[M(x)8(d0)
以图示梁为例，写出虚功原理的具体表达式： 略去FS的影响: = L i W M (x) (d) dθ Mz（X） Mz（X）+dMz（X） We = F1 1 + F2 2 ++ Fn n =Fi i d(Wi ) = ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 d M x dM d = M x + + A F1 F 2 . F n 1 2 n = M (x) (d ) = L Fi Ni M(x) (d)
812-4单位荷载法图乘法单位载荷法推导：B以图示梁为例（略去Fs影响）视F。=1为梁载荷，对应的dxX内力：M(x)F=1CB视F,……F引起的位移，如dof.等为虚位移C据虚功原理M(x)W.=l. fcW, =-[Mde=-[M(x)dxEIdeMM莫尔线弹性范围内dx积分EI小变形杆0
§12-4 单位荷载法 图乘法 以图示梁为例（略去FS影响）： 视F1 ······Fn引起的位移，如dθ， fc等为虚位移 据虚功原理： e c W =1 f = − = − dx EI M x W Md M x L i ( ) ( ) = L c dx EI MM f 0 莫尔 积分 线弹性范围内 小变形杆 dθ F0 =1 视F0 = 1为梁载荷，对应的 内力： M (x) 一、 单位载荷法推导： fC A B C F 0 =1 A F1 . F n B C fC X dX F1 F n
莫尔定理，也称莫尔积分、单MMdx位力法或单位载荷法。EI三、使用莫尔定理的注意事项①：M(x)：结构在原载荷下的内力。②：M(x）：去掉主动力，在所求广义位移处，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。M(x)与M(x的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。5：莫尔积分必须遍及整个结构
= L c dx EI MM f 0 莫尔定理，也称莫尔积分、单 位力法或单位载荷法。 三、使用莫尔定理的注意事项： ⑤: 莫尔积分必须遍及整个结构。 ②： : 去掉主动力，在所求广义位移 处，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力时，结构产生的内力。 ①：M(x)：结构在原载荷下的内力。 ③：所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 M (x) ④： M(x)与 的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 M (x)
例1：用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁q[ P=1ABII7C品CaaXaa②求内力解：①加单位载荷如图x;(0≤x≤a)gx2M(x)M(x) = aqx24(2a-x) ;(a≤x≤2a)③、求变形20.0对称性M(x)M(x)M(x)M(x)M(x)M(x)dxdx +fc.dxEIEIEI0a025qa42xqxdxqa2224EIE
例1: 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q a a A C B 2 ( ) 2 qx M x = aqx − − = (2 ) ;( 2 ) 2 ;(0 ) 2 ( ) a x a x a x x a x M x d ( ) ( ) d ( ) ( ) 2 0 = + a a a C x EI M x M x x EI M x M x f a x EI M x M x 0 d ( ) ( ) 2 a a A C B P0=1 对称性 EI qa x qx x qax EI a 24 5 d 2 ) 2 ( 2 4 0 2 = − = ③、求变形 解：①加单位载荷如图 ②求内力 x