2008年第30卷106力学与实践说梁本力学史话半力学史札记之十九-武际可1)（北京大学力学与工程科学系，北京100871)举行严肃的仪式和庆典，以表示对上梁这道工序的重视所摘要简略介绍了梁的理论从提出到发展成熟的过程，简要叙述了伽利略、马略特、胡克、伯努利、帕朗、纳维以及铁摩以梁也是力学最早研究的对象之辛科等学者的工作，并且提出一些近代关于梁的研究问题其实，梁岂止在屋梁和桥梁上见到呢，我们日常见到的横向受载的柱状物体多得不可胜数，古时常用的扁担、轿杠、关键词梁，平截面假定，中性层，伯努利梁，铁摩辛科梁旗杆、杆、推磨的磨杠、起重的撬杠都是梁。现今建起的摩梁，它的概念形成很早，中国在春秋战国时期的文章中天楼、烟筒、电视塔、电线杆在地震时、惯性力是横向作用就有梁的概念，《国语》上说：“造桥为梁”人类有记载的的，它们所受的风载也是横向作用的，所以都可以看为梁。桥梁据说是公元前18世纪在巴比伦建造的一座拱桥可以汽车、火车底盘上有梁，轮船的船身可以看作在浮力与重力想象，用木头搭的简单的桥还会更早，作用下的复合梁，飞机的机翼是空气动力作用下的悬臂梁，人工建造的房屋上的屋梁恐怕比桥梁还要早，中文的而机身则是在机翼向上作用力与机身重力作用下的梁，竹、“梁”字、最早就是从桥梁和屋梁来的，房屋屋脊上那根重木、庄稼等植物的茎，在风作用下也是梁动物的骨骼、脊要的梁、一般称为栋，《易》经上说“上栋下宇”的栋，就是柱在它们横向受力时、也是梁，指的房屋的脊梁，我们经常说栋梁之才，就是从这里引申出正因为梁的普遍性和重要性，所以梁的精确研究和梁的来的意思精确概念的形成，是整个材料力学、结构力学和弹性力学最在汉字中，梁的金文是如下图的象形字右半是一座桥，早的事件，也是人类技术科学进步的大事左半是水（图1)梁字下面的木字是后来加上去的再后来1伽利略、马略特与胡克的工作人们又加了一个木字，写成“操”：在英文中beam这个字是最早系统研究梁的著作是伽利略（GalileiGalileo,梁的意思，它原来的意义中有“树”的意思。可见无论东方1564~1642)在1638年出版的《关于两门新科学的对还是西方，古代的梁都是木质的，后来才有钢梁、钢筋混凝话》(11这本书写的一共是3个人在4天中的谈话，其中土梁和其他材料的梁，等等的第2天就全部是讲梁的强度问题的（图2)。在这本书中，伽利略提出了关于柱、梁和杆的强度方面17个命题.涉及梁的有8个命题，实质上提出的是两个问题：个是悬臂梁的强度问题，另一个是在自重作用下等强度梁的问题，这两图1金文“梁”字中国在明未翻译外国的力学知识时把力学翻译为“重学”是很有道理的．因为在动力学的概念还没有形成之前，古代人们最通常打交道的力就是重力，而承受重力的结构，也主要是两种：即梁和柱。它们的形状都是柱或杆状，区别是梁的重力作用线垂直于柱的轴线，而柱的重力作用线平行于柱的轴线在以砖石和木材为主要建筑材料的时代，柱的：承载能力比较高，“立柱可以支千钧”，所以很少有压跨柱的事故。而梁就不同丁，大部分的事故出在梁上。所以以前民间建筑房屋时，将“上梁”看作大事，一定要挑选吉利日子，图2伽利略《关于两门新科学的对话》中悬臂梁的插图本文于2008-01-18收到1)E-mail:wu_jike@sina.com
106 力 学 与 实 践 2008 年 第 3O 卷 说 梁 — — 力学 史札记之十九 武际可 ) (北京大学力学与工程科学系，北京 100871) 摘要 简略介绍 了梁的理论从提 出到发展成熟的过程．简要 叙述了伽利略、马略特、胡克、伯努利、帕朗、纳维 以及铁摩 辛科等学者 的工作．并且提 出一些近代关于梁的研究 问题． 关键词 梁，平截面假 定，中性层，伯努利梁，铁摩辛科梁 梁，它 的概念 形成很早．中国在春秋战 国时期 的文章中 就有梁的概念． 国语 上说： “造桥为梁”．人类有记载 的 桥梁据说是公元前 18世纪在 巴比伦建造 的一座拱桥．可以 想象，用木头搭 的简单的桥还会更早． 人工建造 的房 屋上的屋梁恐怕 比桥梁还要 早．中文的 “梁”字，最早就是从桥梁和屋梁来的．房 屋屋脊上 那根重 要 的梁，一般称为栋． 易》经上说 “上栋下宇”的栋，就是 指 的房屋的脊梁．我们经常说栋梁之才，就是从这里引 申出 来 的意 思． 在汉字中，梁的金文是如下 图的象形字．右半是 座桥， 左半是水 (图 1)．梁字下面 的木字是后来加上去的．再后来 人们义加 了一个木字，写成 “棵”．在英文中 beam 这个字是 梁 的意思．它原 来的意义中有 “树”的意思．可见无论东方 还是西方，古代的梁都是木质的，后来才有钢梁、钢筋混凝 土梁和其他材料的梁，等等． 图 1 金文 “梁”字 中国在明末翻译外国的力学知识时，把力学翻译为 “重 学”是很有道理 的．冈为在动力学 的概念还没有形成之前， 古代人们最通常打交道 的力就是重力．而承受重力的结构， 也主要是两种：即梁和柱．它们 的形状都是梓或杆 状，区别 是梁的重力作用线垂直于柱的轴线，而 柱的重力作用线平行 于柱的轴线．在以砖石和木材为主要建筑材料 的时代，柱的 承载能力比较高， “立柱可以支千钧”，所以很少有压垮柱 的 事故．而梁就不同了，大部分的事故出在梁上．所 以以前民 间建筑房屋时，将 “上梁”看作大事，一定要挑选吉利 日子， 本文于 2008—01—18收到． 1)E-maih wu_jike@sinaconl 举行严肃的仪式和庆 典，以表示对上梁这道工序 的重视．所 以梁也是力学最早研究 的对象之一． 其实，梁 岂止在屋梁和桥梁上见到呢，我们 日常见到 的 横 向受载的柱状物体多得不可胜数．占时常用的扁担、轿杠、 旗杆、桅杆、推磨的磨杠、起重 的撬杠都是梁．现今建起 的摩 天楼、烟筒、电视塔、 电线杆在地震时，惯性力是横 向作用 的，它们所受 的风载也是横 向作用的，所 以都可以看 为梁． 汽车、火车底盘上有梁，轮船 的船身可以看作在浮力与重力 作用下的复合梁， 机 的机翼是空气动力作用下的悬臂梁， 而机身则是在机翼向上作用力与机身重力作用下 的梁．竹、 木、庄稼等植物 的茎，在风作用下也是梁．动物 的骨骼、脊 柱在它们横 向受力时，也是梁． 正因为梁 的普遍性和重要性，所 以梁 的精确研究和梁的 精确概念的形成，是整个材料力学、结构力学和弹性 力学最 早 的事件，也是 人类技术科学进步的大事． 1 伽利 略、马略特 与胡克 的工 作 最 早 系统 研 究 梁 的著作 是伽 利 略 (GalileiGalileo， 1564~1642) 在 1638 年 出版 的 ((关于 两 门新科 学 的对 话 [11．这本书写 的 一共是 3个人在 4天中的谈话，其 中 的第 2天就全部是讲梁的强度 问题 的 (图 2)．在这本书 中， 伽利略提 出了关于柱、梁和杆的强度 方面 17个命题．涉及 梁的有 8个命题，实质上提出的是两个问题： 一个是悬臂粱 的强度 问题，另一个是在 自重作用下等强度梁 的问题．这两 图 2 伽利略 《关于两门新科学的对话 中悬臂梁 的插图 ．一． ●
107第6期武际可：说梁力学史札记之十九Having tbus explained the moft.fimplo wayof个问题一直影响到后来近200年的研究fpringing infolidbodies,it wilHe veryeaetoeplain thecompound wayof (gringing,that is,by伽利略并没有正确解决他提出来的问题，在讨论悬臂梁flexure fuppoling only two of thefelines joyned的强度的论证时，隐含了两个错误，一是把根部AB上的拉GH应力看作是均布的，二是把梁的中性层取在梁的下侧。不过由于他在讨论力的平衡时所用的平衡条件是对的，所以也得K1出了一些正确的结论，如说等长圆截面梁的强度与截面直径的3次方成正比等。据1886年出版的托德汉塔（1.Todhunter，1820~1884）M所写的《弹性理论与材料力学的历史》[2]一书的第1部分NC评论说，他的错误是假定了梁的纤维是不可伸长的，因而还没有中性层的概念，实际上是把梁的下面的纤维误认为是中together as at G HIK, which being by any externalpower bended into theform.LNNO, LMwill be性层，这说明，梁既然是变形体，如果不考梁的变形，在extended, and N O will be diminithed in proportion理论上是不可能彻底解决梁的强度和变形问题的to theflexure, ard confequentlythefame proportionsand Rules for its endeavour of reltoring itfelf wil法国学者马略特（E.Mariotte，1620~1684）在1686年hold.[3]出版了研究输水装置的著作《论水和其他流体的运动》图4胡克《论弹簧》中的一段文字与插图这本书是第1部研究流体阻力的著作，在书的第5部分中讨论了固体的抗力和水管的强度问题。在伽利略关于的断他正确地指出，在弯曲时杆的一侧的纤维伸长，另一侧被压1 Td，其中W是悬督梁端的断裂裂抗力的结论中有W=2缩。不言而喻，按照胡克得到的弹性定律，梁截面内的应力载荷，T是通过悬臂梁底中心纵向作用力，d是梁高或染分布应当是以梁的中性层为零的线性分布，即一-侧受拉另-的直径，L是梁长。马略特实际做了实验来确定梁的抗力，侧受压，不过这个思想他没有进一步展开，也仅是如图4所Id得到的结果是W=K=，马略特得到的K为1/3或1/4L说为止亚·沃尔夫（AbrahamWolf,1877~1948）在他1935年出版的《十六、十七世纪科学、技术和哲学史》[5]一书中，9QQC把前面的伽利略、马略特和胡克的理论得到的应力分布列在下面（图5）山国M-Pa-fodyPIANELeRce-sra84oK-窗P-shaM-PahysLMUNOTYEtToa'j.3X000+-PisldM.Pa-sidELNCONELAM"K-O7图5亚·沃尔夫根据伽利略、马略特和胡克的表述画出的应力沿截面分布图图3马略特原著中关于梁的实验的插图2瓦利农与伯努利的工作马略特的讨论比伽利略进了步，伽利略认为在梁的截从以上关于梁的研究中，我们看到，要精确解决梁的强面上应力是均匀分布的，而马略特则认为应力是从梁的下面度间题，必须涉及梁的变形的精确描述。而关于梁的变形问纤维起浩高度是线性分布的，马略特的结果虽然比伽利略进题，虽然在达·芬奇（LeonardoDaVinci，1452~1519）的了一步，但K的值还是不正确的。因为他同样没有精确考虑笔记中、在荷兰物理学家和力学家比克门（BeeckmanI.）于梁的变形，而且与伽利略一样也默认中性层是在梁的下侧1620年的描述中、在1684年莱布尼兹（GottfriedWilhelm1678年，英国学者胡克（RobertHooke，1635~1703）出Leibniz，1646~1716）关于固体抗力的论文中、在胡克1678版了他的著名的著作《论弹簧》[]，书中不仅叙述了他对各年关于弹簧的论著中，都先后提及．但都是定性的描述，而种材料弹性实验的结论，还描述了·一根受弯曲的杆的变形没有精确的表述
第 6 期 武际可 ：说梁 —— 力学史札记之十九 107 个问题一直影响到后来近 200年的研究． 伽利略并没有正确解决他提 出来的问题．在讨论悬臂粱 的强度 的论证时，隐含了两个错误，一是把根部 AB 上的拉 应力看作是均布的，二是把梁的中性层取 在梁 的下侧．不过 由于他在讨论力的平衡时所用的平衡条件是对 的，所 以也得 出了一些正确的结论．如说 等长 圆截面梁 的强度与截面直径 的 3次方成正 比等． 据 1886年出版 的托德汉塔 (I．Todhunter，1820~1884) 所写的 ((弹性理论与材料力学的历史》 t21一书的第 1部分 评论说，他 的错误是假定 了梁的纤维是不可伸长 的，因而还 没有中性层 的概念，实际上是把梁的下面 的纤维误认为是 中 性层．这说 明，梁 既然是变形体，如果不考虑梁的变形，在 理论上是不可能彻底解决梁的强度和变形 问题的． 法 国学者马略特 (E．Mariotte，1620~1684)在 1686年 出版了研究输水装置的著作 《论水和其他流体的运动》 J， 这本书是第 1部研究流体 阻力的著作，在书 的第 5部分中， 讨论了固体 的抗 力和水管的强度 问题．在伽利略关于梁 的断 裂抗力的结论中有 W =去 ，其中W 是悬臂粱端的断裂 载荷， 是通过悬臂梁底中心纵 向作用力， d是梁高或梁 的直径， 是梁长．马略特实际做了实验来确定梁的抗力， 得到的结果是 W =K-7-．马略特得到的 K 为 1／3或 1／4． 图 3 马略特原菩 中关于梁 的实验 的插 图 马略特 的讨论 比伽利略进 了一一步，伽利略认为在梁的截 而上应力是均匀分布 的，而 马略特则认为应力是从梁 的下面 纤维起滑高度是线性分布的．马略特 的结 果虽然比伽利略进 了 一步，但 的值还是不正确的．因为他 同样没有精确考虑 梁 的变形，而且与伽利略.样也默认中性层是在梁的下侧． 1678年，英 国学者胡克 (RobertHooke，1635~1703)出 版 了他 的著名的著作 论弹簧)) [41，书 中不仅叙述了他对各 种材料弹性实验 的结论，还描述 了一一根受弯 曲的杆的变形． o 图 4 胡克 Ⅸ论弹簧》 中的一段文字与插 图 他正确地指出，在弯 曲时杆 的一侧的纤维伸长，另-N被压 缩．不言而喻，按照胡克得到的弹性定律，梁截面 内的应力 分布应当是以梁 的中性层 为零的线性分布，即 一侧受拉另一 侧受压．不过这个思想他没有进一步展开，也仅是如图 4所 说 为止 ． 亚 ·沃尔夫 (Abraham Wolf,1877~1948)在他 1935年 出版 的 十六、十七世纪科学、技术和哲学史 J一书 中， 把前面的伽利略、马略特和胡克的理论得到 的应力分布列在 下面 (图 5)． 臼．出f 立!苎!些 笪 胡 ， — — L———．￡ M‘ ‘tij幽i· ' · o-．1~3 i’‘ 产· ÷，bJ一 ，r · O -意 ，-， 图 5 亚 ·沃尔夫根据伽利略、马略特和胡克的表述画 出的 应力沿截面分布图 2 瓦利农与伯努利的工作 从以上关于梁的研究 中，我们看到，要精确解决梁的强 度 问题，必须涉及梁的变形 的精确描述．而关于梁 的变形问 题，虽然在达 ·芬奇 (LeonardoDaVinci，1452~1519)的 笔记中、在荷兰物理学家和力学 家比克门 (BeeckmanI．)于 1620年 的描述中、在 1684年莱布尼兹 (Gottfriedw ilhe1m Leibniz，1646~1716)关于 同体抗 力的论文中、在胡克 1678 年关于弹簧 的论著中，都先后提及．但都是定性的描述，而 没有精确 的表述． H— 一 ～ 一 一_●l一 一 ～ 一● ～ ～ 一 一 r ～ ～ 一 L ～ 一 一 叶 L一 潞川 =薹 " ^ _ ‘
力学与实践2008年第30卷1083帕朗、纳维与后继的工作法国数学家瓦利农（PierreVarignon，1654~1722）是在法国早期研究和发展数学分析的学者，他在静力平衡和分析直到伯努利的研究，虽然对于梁的变形有了比较准确的方面都有重要的贡献。他沿着伽利略和马略特的思路对梁进描述。但直被一种错觉所支配，即认为在弯曲时梁的截面行讨论，在1702年他发表的关于固体抗力的论文中，把梁上纤维的伸长是主要的，压缩似乎不明显，所以对中性层的内不同层的纤维有不同的伸长，认为对应的应力也在变化，位置一直没有取准，也就不会得到正确的结果他用积分工具来求这些应力的合力，并且比较了伽利略和马历史上第1次认真讨论悬臂梁的中性层，即梁截面上没略特的结果。遗感的是他仍然默认了梁的下侧为中性层的位有应力作用的那一-层的位置的学者是法国数学家帕朗（Par-置，所以结果也是不对的entAntoine，1666~1716).因而他得到的悬臂梁的截面上的从变形角度第1次比较精确的研究梁的问题，应当说是应力分布也比较正确从雅科比：伯努利（JacobBernoulli，1654~1705).在1694帕朗的论证是从马略特的假定开始的，既然马略特认定年的论文《弹性梁的弯曲》以及他在1705年的论文中，不悬臂梁在受载荷后，截面上的应力分布是根部下侧为零，整个是像以前研究梁从应力出发，而是最早用微积分工具研究梁截面上都是受线性分布的拉应力从简单的平衡就可以得出推的变形，他假定梁在变形时梁的横截面保持面，这就是平论，梁根部下侧所受的一定是压应力，由此他认定中性层一定截面最早的提法，由此，他得到了悬臂梁的变形的微分方程是处于梁的中间某个位置，他经过与实验对照，确定对矩形截面梁、中性层与的上侧距离和梁高之比为9:11的地方C==Pr梁的中性层最后准确定位是直到1826年法国力学家纳维（Navier，claude-Louis-Marie-Henri，1785~1836）给出这里是梁的曲率半径，P是梁端的载荷，是所计算曲[6]的。纳维1826出版的《力学在机械与结构方面的应用》率的地方与梁端的距离，C是常数.雅科比·伯努利得到的是系统讲述材料力学的第1本书，也是他在巴黎综合工业C为mbh3C=学校讲课的讲义，在这本书中，他第1次给出中性层准确定3义，他的结论是：中性层通过截面的形心（图7)这里b和h分别是梁的宽与高，m是材料的弹性常数，即至此，关于悬臂梁的正确的应力分布问题才算是尘埃落现在说的杨氏模量，定了.平截面假定是材料力学的重要假定，因为它抓住了梁的变形的主要特征。所以后人把基于平截面假定的梁的理论称为伯努利架不过，伯努利并没有彻底解决梁的问题，原因是，他对中性层的位置仍然没有跳出马略特的思路。所以他的常数C定得还不对.这一点从他1705年文中如下的插图（图6）可以清楚地看出，他的中性层画的地方还是不正确的，另外，L由于在他所得到的微分方程中，是用的曲率的表达式，面没有根据位移的微小性加以简化处理，所以在实际工程中也没图7纳维讲义中的原始插图，图示他对中性层的位置画得是正确的有得到广泛应用在伯努利平截面的假设中，在梁的变形过程中，截面始终垂直于中性层，这不言而喻是忽略了在梁中的剪应力的，因而不能满足梁内局部的平衡条件，俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（KypaBckui，mMTpwWBaHOBWy，1821~1891)于1855年[6]得到横力弯曲时的切应力公式在同一年、即1855年，在彼得堡出版了俄罗斯工程师别斯帕罗夫（EecHa.IOB）的一本小册子《用初等方法求解关于材料力学与结构稳定性的问题》，书中最早介绍了弯矩图并开始使用弯矩图求解问题梁的力学模型一旦提清楚以后，人们便进一步处理更为复杂的问题后来，人们逐渐发现柱的受压和弯曲经常是不能分开处理的.1744年欧拉（LeonhardEuler，1707~1783）解决了压杆的届曲和杆的弯曲大变形问题，拉格朗日（JosephLouis图6伯努利1705年关于梁的论文的插图Lagrange，1736~1813）在1770年前后也深入讨论了这类问
108 力 学 与 实 践 2008 年 第 3O 卷 法国数学 家瓦利农 (PierreVarignon，1654~1722)是在 法 国早期研究和发展数学分析 的学者，他在静 力平衡和分析 方面都有重要的贡献．他沿着伽利略和马略特 的思路对梁进 行讨论，在 1702年他发表的关于 固体抗力的论 文中，把梁 内不同层 的纤维有 不同的伸长，认为对应的应力也在变化， 他用积分T具来求这些应力的合力，并且 比较了伽利略和马 略特的结果．遗憾 的是他仍然默认了梁 的下侧为中性层的位 置，所以结果也是不对的． 从变形角度第 1次比较精确 的研究梁 的问题，应当说是 从稚科比 ·伯努利 (JacobBernoulli，1654~1705)．在 1694 年 的论文 ((弹性梁的弯 曲 以及他在 1705年 的论文中，不 是像以前研究梁从应力 出发，而是最早用微积分工具研究梁 的变形．他假定粱在变形时梁的横截面保持平面，这就是平 截而最早的提法．由此，他得到 了悬臂梁 的变形的微分方程 c ： P 这里 r是梁 的曲率半径 率 的地方与梁端的距离 为 P 是梁端 的载荷， 37是所计算 曲 是常数．雅科比 ·伯努利得到 的 r1一 m bh。 。 一 — 一 这里 b和 h分别是梁的宽与高， m 是材料 的弹性常数，即 现 在 说 的杨 氏模量 ． 甲截面假定是材料力学 的重要假定，因为它抓住了梁 的 变形的主要特征．所以后人把基于平截面假定的梁 的理论称 为偏努利梁． 不过，伯努利并没有彻底解决梁的问题，原因是，他对 中性层的位置仍然没有跳 出马略特 的思路．所 以他的常数 定得还不对．这 ·点从他 1705年文中如下的插 图 (图 6)可 以清楚地看出，他的中性层画的地方还是不正确的．另外， 由于在他所得到的微分方程 中，是用的曲率 的表达式，而没 育根据位移的微小性加以简化处理，所以在实 际工程中也没 有得到广泛应用． ／ ． P ． 一 r 图 6 伯努利 1705年关于梁的论文的插 图 3 帕 朗、纳 维与后继 的工作 直到伯努利的研究，虽然对于梁 的变形有了比较准确 的 描述．但一直被一种错觉所支配，即认为在弯 曲时梁 的截面 上纤维的伸长是主要 的，压缩似乎不明显，所以对 中性层的 位置 -一直没有取准，也就不会得到正确的结 果． 历史上第 1次认真讨论悬臂梁 的中性层，即梁截面上没 有应力作用的那 一层 的位置的学者是法 国数学家帕朗 (Par— entAntoine，1666~1716)．闲而他得到的悬臂梁的截面上的 应力分布也比较正确． 帕朗的论证是从马略特 的假定开始的，既然马略特认定 悬臂梁在受载荷后，截面上的应力分布是根部下侧为零，整个 截面上都是受线性分布的拉应力．从简单的平衡就可以得出推 论，梁根部下侧所受 的一定是压应力．由此他认定中性层一定 是处于梁 的中间某个位置．他经过与实验对照，确定对矩形截 面梁，中性层与梁的上侧距离和梁高之 比为 9：11的地方． 梁 的中性层最 后准确定位是直到 1826年法 国力学家纳 维 (Navier，claude—Louis—Marie—Henri，1785~1836)给 出 的．纳维 1826出版的 力学在机械 与结构方面的应用 [6j 是系统讲述材料力学 的第 1本书 ，也是他在 巴黎综合工业 学校讲课 的讲义．在这本书中，他第 1次给 出中性层准确定 义．他 的结论 是：中性层通过截面 的形心 (图 7)． 至此，关于悬臂梁 的正确的应 力分布 问题才算是尘埃落 定 了． 图 7 纳维讲义中的原始插图，图示他对 中性层的位置画得是正确的 在伯努利平截面 的假设 中，在梁的变形过程 中，截面始终 垂直于中性层，这不言而喻是忽略了在梁中的剪应力的，因而 不能满足梁 内局部 的平衡条件．俄罗斯铁路工程 师儒拉夫斯 基 (>’KypaBcKM访，且MI4TpI4HI／IBaHOBIdM，1821~1891) 于 1855年 _bJ得到横力弯 曲时的切应力公式． 在 同 ·年，即 1855年，在彼得堡出版 了俄 罗斯工程师 别斯帕罗夫 (~ecrlaJioB)的一本小册子 用初等方法求解 关于材料力学与结构稳定性 的问题 ，书中最早介绍 了弯矩 图并开始使用弯矩 图求解问题． 梁的力学模型一旦提清楚以后，人们便进 一步处理更为 复杂 的问题． 后来，人们逐渐发现柱的受压和弯曲经常是不能分开处 理 的． 1744年欧拉 (LeonhardEuler，1707~1783)解决了 压杆的屈 曲和杆的弯 曲大变形 问题，拉格 朗日 (JosephLouis Lagrange，1736~1813)在 1770年前后也深入讨论了这类问
109力学史札记之十九第6期武际可：说梁善，其间经过了漫长的近400年的时间。可见－个实际问题题的求解，基尔霍夫（JosephLouisLagrange，1736~1813）则在1859年把柔韧的细杆在弯曲与扭转下的一般情况与刚的完全解决，绝不是朝一夕之功。需要许多学者的努力，还需要实践的不断检验和修正。体绕固定点的动力学问题对应了起来又由于梁的弯曲与扭转、在很多情况下也是耦合在一起梁的问题虽然已经可以说能够告一段落了，不过人类的的。对于横截面不是圆截面的情形的扭转间题也变得比较复科学技术发展是无穷尽的．工程技术还会提出更精确的要杂，而且对于一般情形，外力也经常会同时引起扭转和侧向求。例如梁的材料可以是压电材料、各向异性材料、不均匀弯曲，关于梁的弯曲与扭转问题的一般提法和解决是法国力材料、有时效的材料、组合材料等问题：又例如在失重下杆学家圣维南（Saint-Venant，Adhemar Jean Claude Barre.的行为的问题、有磁电感应力作用的问题，再例如由于更精de.1797~1886）在1855年前后给出的.他给出了一般截面确的需要，从三维弹性力学出发研究梁的问题，讨论不要任的柱体，受横向力时，不发生扭转的条件、给出了弯曲中心何变形假定的梁的理论梁的问题还不断有人继续研究，可的概念。即横向力的合力通过弯曲中心时，柱体不会产生扭以说，梁的问题至今还是一个开放的问题，还会吸引许多的转，他还给出了计算截面上弯曲中心位置的方法人投入，致谢感谢魏丰博士提供的若干原始文献，包括文献4铁摩辛科梁[2,4]的复印本直到19世纪发展起来的已有的梁的理论，对于求解静力学问题，在工程实际问题中，精确程度是足够了。但是对参考文献于求解动力学问题却表现出明显的不合理原来在以伯努利1伽利略著，武际可译。关于两门新科学的对话：北京，北京大学梁的静力学方程中，简单地添加梁的惯性项，所形成的梁的出版社，2006动力学方程，冲击的传播速度可以是无限大的，这有点像线2 Todhunter I. A History of the Theory of Elasticity and性热传导方程，是属于抛物型的。对于热传导问题，得到的of the Strength of Materials, from Galilei to the Present.热传播速度的不合理还可以忍受，而对于梁的冲击传播速度Dover Publications, 18863 Mariotte E. Traite du Mouvement Des Eaux et Des Autres是无限大，就会在实际工程问题中引起很大的误差Corps Fluides.Oeuvres de Mr.Mariotte Tom.IL, 1886为了克服这种不合理情况，曾在乌克兰基辅大学执教，4 Hooke R. Lectures (de Potentia Restitutiva) (Lectures of1922年移居美国的铁摩辛科（Stepan（Stephen）Prokofyesprings), 1678vichTimoshenko，1878~1972）提出了一种对伯努利梁的修5亚·沃尔夫。十六、十七世纪科学、技术和哲学史。北京：商务正理论，并于1921年发表[8]，其中最重要的改进是考虑了印书馆，1991梁内的剪切变形的一阶近似，从而放弃了平截面假定，另一6 Navier M. L'application de la Mechanique a I'etablissement项改进是在惯性项中加进了截面转动的惯性力。由于这一改des Constructions et Des Machines, 1826进，梁的振动问题的方程就变成双曲型方程，相应的冲击传7KypaBcKni,IIMMTpui HBaHOBHu.OMocTax packocHonicMcreMa Fay.CIIB, 1855播速度也就是有界的了，目前铁摩辛科梁被广泛地应用于求8 Timoshenko SP. On the correction for shear of the differ-解动力传播问题和控制问题中ential equation for transverse vibration of prismatic bars.5小结PhilMag,XLI,1921.744~746ReprintedinTheCollected如果从1638年伽利略的《关于两门新科学的对话》梁Papers of Stephen P. Timoshenko, McGraw Hill, London,1953. See also [18], 329~331的问题的提出开始，到1921年铁摩辛科梁对于动力问题的完（上接第98页）5实验方法又训练了学生们通过自己动手做实验掌握所学知识的能力，为了学习和掌握已有的自然科学技术知识，可通过一定更重要的是使学生们认识到实验方法对掌握知识和把握事物仪器设备等物质条件使已往人们做过的试验重复表现出来，规律性的重要性；养成了动手做实验的习惯，这对学生今后以便验证已有的自然知识和技术，加深理解和掌握，这种方学习和掌握新的知识和培养创新能力很有益处，法称为实验方法参考文献讲授低碳钢拉伸、压缩时力学性能时，为了使学生们对1栾玉广。自然科学技术研究方法，合肥：中国科技大学出版社，低碳钢拉伸、压缩时的力学性能有充分的理解，不妨通过上实2003验课，一部分时间讲授，一部分时间让学生自已做实验的方2刘元亮等。科学认识论与方法论。北京：清华大学出版社，1987法来加深对这部分内容的掌握和理解。同样讲授低碳钢和铸3胡志强，肖显静。科学理性方法，北京：科学出版社，2002铁构件的扭转以及梁的主应力等内容也可采用这种方法，在4张速，方法论在理论力学课程教学中的应用。力学与实践，2008教学中采用实验方法，学生们不仅掌握了课本上的内容而且30(1):91~92
第 6 期 武际可 ：说梁 —— 力学史札记之十九 109 题的求解．基尔霍夫 (JosephLouisLagrange，1736~1813) 善，其间经过了漫长的近 400年的时问．可见一个实际问题 则在 1859年把柔韧 的细杆在弯 曲与扭转下的一般情况与刚 的完全解决，绝 不是 朝一夕之功．需要许 多学者 的努力， 体绕 固定点的动 力学 问题对应 丁起来． 还需要实践 的不断检验和修正． 又由于梁的弯曲与扭转，在很多情况下也是耦合在 一起 梁 的问题 虽然 已经 可以说能够告 一段落了．不过人类的 的．对于横截面不是 圆截而的情 形的扭转 问题也变得比较复 科学技术发展是无穷尽 的．T程技术还会提 出更精确的要 杂，而且对 于一般情形，外力也经常会 同时引起扭转和侧 向 求．例如梁 的材料可以是压电材料、各向异性 材料、不均匀 弯 曲．关于梁的弯曲与扭转问题 的一般提法和解决 是法 国力 材料、有 时效的材料、组合材料等问题．又例如在失重下杆 学家圣维南 (Saint—Venant，AdhemarJeanClaudeBarre． 的行 为的问题、有磁 电感应力 作用的问题．再例如由于更精 de．1797~1886)在 1855年前 后给 }H的．他给 出了一般截面 确的需要，从 维弹性力学出发研究梁 的问题，讨论不要任 的柱体，受横 向力时，不发生扭转的 条件，给 出了弯 曲中心 何变形假定的梁 的理论．梁 的问题还不断有人继续研究．可 的概念．即横 向力的合力通过弯曲中心时，柱体 不会产生扭 以说，梁 的问题 至今还是一个开放的问题，还会吸引许多的 转．他还给出了计算截面上弯 曲中心位置 的方法． 人投入． 4 铁摩辛科梁 致谢 感谢魏丰博士提供的若干原始文献，包括文献 直到 19世纪发展起来的已有的梁的理论，对于求解静 [2，4J的复印本· 力学问题，在工程实际问题中，精确程度是足够了．但是对 参 考 文 献 梁誊的静篓力学学方程中却， 誊简单地添加梁 的惯性，iN项．．原，所形在成 的梁的 l伽出利版社略著．武际可译．关于两门新科学的对谣北京：北京大学 ， 2OO 。 6 动力学方程，冲击的传播速度可以是无限大的．这有点像线 2Todh t。 I． A Hi。t。 v 。f th。 T h。 v 。f Elastiitv d 性热传导方程，是属于抛物型的．对于热传导 问题，得到的 oftheStrengthofMateria1s，fr0m Galileit0thePresent． 热传播速度的不合理还可以忍受，而对于梁的冲击 传播速度 DoverPublications，1886 是无限大，就会在实际工程 问题中引起很大 的误差． 3MariotteE．TraitgduMouvementDesEauxetDesAutres 为了克服这种不合理情况，曾在乌克兰基辅大学执教， CorpsFluides·0euvresdeMr·MariotteTom·II，1886 1922年 移居美 国的铁摩辛科 (stepan(stephen)Prokofye一 4H。k R·L。 。(d。P。“i Re。i“iva)(L。 “。of v兰、Timoshenko．187：_972) 二翌銎 s亚pr．in沃gs尔),夫1． 678 正理论 卜六、十七世纪科学、技术和哲学史．北京：商务 ， 并于 1921年发表 ．其中最重要的改进 是考虑 了 书 一1。99 ‘ . . 一 . ～ ～ ’ .” . 梁内的剪切变形的一阶近似，从而放弃了平截面假定．另一 6Navi M． L'applicati。 d。1 M 。 h ia ，dl'& ablis。 t 项改进是在惯性项 中加进 了截面转动的惯性力．由于这一改 d。 Const tio 。tD。 ／Vl hies． 1826 进，梁 的振动问题 的方程就变成双 曲型方程，相应 的冲击传 7 ypa KH ，且MMTpH请M aHoH ．OMoTaxpaKoH0 播速度 也就是有 界的了． 目前铁摩辛科梁被广泛地应用于求 Cl-ICTeMblFay．CUB，1855 解动力传播问题 和控制问题 中． 8TimoshenkoSP．Onthecorrectionforshearofthedifer一 5 小 结 PhilMuU．XLI， 1921．744~ 746 Reprinted inThe Collected entialequation fo rtransverse vibration ofprism atic bars● 如果从 1638年伽利略的 关于两门新科学的对话》梁 Papers0fStephenP．Timoshenko，McGrawHill，London， 的问题的提出开始，到 1921年铁摩辛科梁对于动力 问题的完 1953．Seealso[18]，329~331 (上 接 第 98页) 5 实验 方法 为了学 习和掌握 已有 的自然科学技术知识，可通过一定 仪器设备等物质条件使已往人们做过 的试验重复表现出来， 以便验证已有 的自然知识和技术，加深理解和掌握，这种方 法称为实验方法． 讲授低碳钢拉伸、压缩 时力学性能时，为 了使学 生们对 低碳钢拉伸、压缩时的力学性能有充 分的理解，不妨通过上实 验课，～部分时间讲授， 一部 分时间让学生 自己做实验 的方 法来加深对这部分内容的掌握和理解．同样讲授低碳钢和铸 铁构件的扭转以及梁 的主应力等 内容也可采用这种方法．在 教学中采用实验方法，学生们不仅掌握了课本上的内容而且 又训练 了学生们通过 自己动手做实验 掌握所学知识的能力， 更重要的是使学牛们认识到实验方法对掌握知识和把握事物 规律性 的重要性；养成了动手做实验的习惯，这对学生今后 学习和掌握新的知识和培养创新能力很有益处． 参 考 文 献 1栾玉广．自然科学技术研究方法．合肥：中国科技大学出版社， 2003 2 刘元亮等．科学认识论与方法论．北京：清华大学出版社， 1987 3胡志强， 肖显静．科学理性方法．北京：科学出版社， 2002 4张速．方法论在理论力学课程教学 中的应用．力学与实践，2008， 30(1)：91~92