xy 刚设/c=中p x≠0，y≠0， 求 lim f(x,y). x→0 0, x=0,y=0. y→0 解 limf(x,y)=lim 0=0, -0 limf(x,y)=lim 0 =0, y-→0 x-0 x-0 y-→0 =0 但取y=x, lim f(c,y)=im。 x·x k x->0 x0x2+(x)2-1+k2 y=x-→0 y=kx->0 其值随k的不同而变化。 故limf(x,Jy) 不存在. x→0
例3 设 解 0, 0, 0. , 0, 0, ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 但取 ykx, lim ( , ) 0 0 f x y y kx x 2 2 0 0 ( ) lim x kx x kx y kx x 其值随 k 的不同而变化。 不存在． lim ( , ). 0 0 f x y y x 求 lim ( , ) 0 0 f x y y x lim 0 0, 0 y lim ( , ) 0 0 f x y y x lim 0 0, 0 x . 1 2 k k 故 lim ( , ) 0 0 f x y y x
考察Px,y)沿平面直线y=kx趋于(O,O)的情形 如图 对应函数值 fx,y)=x2+y x2(0+k2 (x,y)≠(0,0)
考察 P(x, y)沿平面直线 y = k x 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值 2 2 ( , ) x y xy f x y , ( , ) (0,0) (1 ) 2 2 2 x y x k kx x o y
定义3：设函数z=f(x,y)在点P(Xo,y)及其附近有定义 如果 lim f(x,y)=f(xo,yo) 就称函数 (xy)→(x0,y0) f(x,y)在点P 连续。如果f(x,y)在区域D的 每一点都连续，就称f(x,y)在区域D连续
定义3：设函数 z = f ( x , y )在点 及其附近有定义 如果 ，就称函数 f ( x , y )在点 连续。如果 f ( x , y )在区域 D 的 每一点都连续，就称 f ( x , y ) 在区域 D 连续。 ( , ) 0 0 0 P x y lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y P0
(1)函数f(x,y)在P(xo,Jyo)点有定义； (2) Iimf(x,y)存在 x→x0 Jy→y0 (3) lim f(x,y)=f(xo,yo). x-→x0 Jy→y0 则称函数f(x,y)在点P(x0y)连续
(1) 函数 f ( x, y)在 ( , ) 0 0 0 P x y 点有定义； (2) lim ( , ) 0 0 f x y y y x x 存在； (3) lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x 。 则称函数 f ( x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续
例4求 1im(x2+2y2+3xy) x->0 y-→1 解 1im(x2+2y2+3xy)=1im(x2)+1im(2y2)+1im(3xy) x→0 x>0 y->1 5” ” y-1 =lim(x2)+2lim(y2)+3(limx)-(limy) x->0 x→>0 x-→0 x-→0 y→1 -→1 '-→1 ”→1 =0+2.1+3.0.1=2
例4 求 解 lim( 2 3 ). 2 2 1 0 x y xy y x lim( 2 3 ) 2 2 1 0 x y xy y x lim( ) 2lim( ) 3(lim ) (lim ) 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y y x y x y x y x lim( ) lim(2 ) lim(3 ) 1 0 2 1 0 2 1 0 x y xy y x y x y x 0213012