定义2： 若函数x=f(x,y)在点P(xo,y)附近有定义 (在点P。可以没有定义)，P(x,y)是P(x,y%) 邻域内的点，如果当P以任意的方式无限的趋向 于点时。f(x,y)无限的趋向于某一个常 数A,那么我们就说当 (x,y)→(xo,yo) 家p=-广+-为-0 时，函数f(x,y)以A为极限，记作 lim f(x,y)=A lim f(x,y)=4 (x,y)->(x0,y0) x→x0 y-→y0 f(x,y)->A (p→0)
定义2： 若函数 z = f ( x , y ) 在点 附近有定义 （在点 可以没有定义）， P ( x , y )是 邻域内的点，如果当 P 以任意的方式无限的趋向 于点 时。 f ( x , y ) 无限的趋向于某一个常 数 A ，那么我们就说当 或 时，函数 f ( x , y )以 A 为极限，记作 ( , ) 0 0 0 P x y P0 ( , ) 0 0 0 P x y P0 ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ( ) ( ) 0 2 0 2 xx0 y y f x y A x y x y lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y A y y x x lim ( , ) 0 0 f ( x , y ) A ( 0 )
说明： (1)定义中P→P的方式是任意的： (2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. (3)二重极限的几何意义： Ve>0,ヨP的去心δ邻域UP,δ)。在UP,δ) 内，函数z=f(x,y)的图形总在平面=A+8 及？=A-8之间
说明： （1）定义中 P P 0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （3）二重极限的几何意义： > 0，P0 的去心 邻域 º U(P0 , )。 在 º U(P0 , ) 内，函数 z f ( x, y) 的图形总在平面 z A 及 z A 之间
例2求证 2+从 x>0 y→0 证 k*s2*y Ve>0,36=E, 当0<x-02+y-0<6时， 原结论成立
例2 求证 证 0. 1 lim( )sin 2 2 2 2 0 0 x y x y y x 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 1 sin x y x y 2 2 x y 0, , 当 0 ( x 0 ) 2 ( y 0 )2 时， 0 . 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 原结论成立．
注意：P→P是指P以任何方式趋于P· lim f(x)=4, 一元中 x->xo lim f(x)=A. )= x→x0 多元中 mf(x,y)=A,→f(x→A(P以某种方式趋于乃). P-> Iimf(x,y)=A(沿平行x轴→P) x-X0 Y=Yo lim f(x)=A → lim f(x,y)=A(沿平行y轴→P) x→X0 x=X0 y→y0 y→y0 lim f(x,y)=A (沿y=yo+k(x-xo) x-→x0 o+k(x-*0)0 →P)
注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 . P P0 lim ( ) , 0 f x A x x lim ( ) , 0 f x A x x lim ( ) . 0 f x A x x 一 元 中 多 元 中 lim ( , ) , 0 f x y A P P ( ) ( ). A P P0 f x 以某种方式趋于 f x A y y x x lim ( ) 0 0 f x y A y y x x lim ( , ) 0 0 ( ) P0 沿平行 x 轴 f x y A y y x x lim ( , ) 0 0 ( ) P0 沿平行 y 轴 ) ( ( ) 0 0 0 P y y k x x f x y A 沿 x x lim ( , ) 0 0 0 0 y k( x x ) y
确定极限不存在的方法： (1)令P(x,y)沿y=y0+k(x-x0)趋向于P(x0,y0), 若极限值与k有关，则可断言极限不存在； (2)找两种不同趋近方式，使1imf(x,y)存在，但 x→x0 Jy→y0 两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点P(xo,yo) 处极限不存在
(1) 令 P( x, y)沿 ( ) 0 k x x0 y y 趋向于 ( , ) 0 0 0 P x y ， 若极限值与k 有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x 存在，但 两者不相等，此时也可断言f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处极限不存在． 确定极限不存在的方法：