例5求极限 lim sin(x2y) >0 x2+y2 y-→0 解 lim sin(x2y)） lim sin(x2y）x2y x>0 x2+y2 x->0 x2y x2+y2 y-→0 y-→0 其中 li sin(x2y)u=x2y x→0 x'y lim sinu=1, -→0 u y→0 州w 于是，im sin(x2y) x2+y2 ≥0 x→0 →0
例5 求极限 . sin( ) lim 2 2 2 0 0 x y x y y x 解 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x , sin( ) lim 2 2 2 2 2 0 0 x y x y x y x y y x 其中 x y x y y x 2 2 0 0 sin( ) lim u u u sin lim 0 1, 2 2 2 0 x y x y x 2 1 0, x0 0. sin( ) lim 2 2 2 0 0 x y x y y x 于是， u x y 2
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义域内是连续的. 在定义域内的连续点求极限可用“代入法”： limf(P)=f(P)(P∈定义区域) P→P0
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义域内是连续的． 在定义域内的连续点求极限可用“代入法” ： lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 定义区域 f P f P P P P
例7求lim Vy+1-1 x-→0 y Jy->0 解 lim y+1-1 lim y+1-1 x-→0 y x→0y(xy+1+1) -→0 y-→0 1 lim x-→0Vxy+1+1 y→>0 12
例７ . 1 1 lim 0 0 xy xy y x 求 解 ( 1 1) 1 1 lim 0 0 xy xy xy y x 1 1 1 lim 0 0 xy y x . 2 1 xy xy y x 1 1 lim 0 0
多元函数的偏导数 偏导数 引例一定量的理想气体的压强P,体积V,热力 温度T三者之间的关系为 P= (R为常量). V 当温度不变时（等温过程），压强P关于体积V的 变化率就是 RT T常数 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数
引例 一定量的理想气体的压强 P，体积 V，热力学 温度 T 三者之间的关系为 V RT P (R 为常量). 当温度不变时（等温过程），压强 P 关于体积 V 的变 变化率就是 2 d d V RT V P T 常数 , 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数． 多元函数的偏导数
一、偏导数的定义 在二元函数z=f(化，y)中，有两个自变量x,y,但 若固定其中一个自变量，比如，令y=yo,而让x变化 则z成为一元函数z=f(化，yo),我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数，称为偏导数
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但 若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0 , 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义