复旦大学：《高等数学》课程精选教案_线性方程组

因此,齐次方程组的通解为 0 0 4 其中x2,x4为任意常数。 分别给x,,x以值1,0和0,1,又得到了基础解系 0 0 这也是求基础解系和方程组通解的一种方法 非齐次线性方程组 设A是m×n矩阵,rank(A)=r,b为m维列向量。 定义4.6.2矩阵(A;b)称为线性方程组 Ax= b 的增广矩阵 下面的定理说明,方程组Ax=b的可解性,是与其增广矩阵密切相关的。 定理4.6.2线性方程组 Ax= b 的解存在的充分必要条件是:其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩,即 rank(A)=rank(A}b)。 证线性方程组 Ax= b 的解存在等价于b可以用A的列向量线性表示,这又等价于A的列向量组的极 大无关组就是增广矩阵(A}b)的列向量组的极大无关组,因此 ank(A)=rank(A:b)。 证毕 设x是一个固定的向量,满足Ax0=b,我们称其为线性方程组Ax=b的 个特解。当r<n时,对于Ax=b的任意一个解x,由于 A(x-x0)=4x-Ax0=b-b=0, 因此x-x0是齐次方程组的解,由前面的叙述,它必可表示为 其中x,x(2)…,x(m-)为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系。于是 x=xn+cx(c,是任意常数,1=1,2…,n-r), 它称为非齐次线性方程组的通解。这说明,非齐次线性方程组的通解等于其相应

因此，齐次方程组的通解为                                                                         1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 2 1 2 2 4 4 4 2 2 4 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x ， 其中 2 x ， 4 x 为任意常数。 分别给 2 4 x , x 以值 1，0 和 0，1，又得到了基础解系  (1) x               0 0 1 2 ，  (2) x                  1 2 1 0 2 1 。 这也是求基础解系和方程组通解的一种方法。 二．非齐次线性方程组 设 A 是 mn 矩阵，rank ( A )  r ，b 为 m 维列向量。 定义 4.6.2 矩阵（ A ┆b）称为线性方程组 Ax  b 的增广矩阵。 下面的定理说明，方程组 Ax  b 的可解性，是与其增广矩阵密切相关的。 定理 4.6.2 线性方程组 Ax  b 的解存在的充分必要条件是：其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。 证 线性方程组 Ax  b 的解存在等价于 b 可以用 A 的列向量线性表示，这又等价于 A 的列向量组的极 大无关组就是增广矩阵( A ┆b)的列向量组的极大无关组，因此 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。 证毕 设 0 x 是一个固定的向量，满足 Ax0  b ，我们称其为线性方程组 Ax  b 的一 个特解。当 r  n 时，对于 Ax  b 的任意一个解 x，由于 A(x  x0 )  Ax  Ax0  b  b  0 ， 因此 x  x0 是齐次方程组的解，由前面的叙述，它必可表示为 x  x0     n r i i i c 1 ( ) x ， 其中 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x 为齐次线性方程组 Ax  0 的一个基础解系。于是      n r i i i c 1 ( ) x x0 x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）， 它称为非齐次线性方程组的通解。这说明，非齐次线性方程组的通解等于其相应

的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论46.3设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组 dx= b 当rank(A)=rank(A:b)时有解。此时,当rank(A4)=n时只有唯一解;当 rank(A)<n时有无穷多组解 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿,只是多求一步特解而已。设 nk(A}b)=rank(A)=r,并设 将原方程组Ax=b转化为同解方程组 a1x1+a12x2+…+a1x+a1n+x+1+…+anxn=b1, a2x2+…+a2,x1+a21x,++…+a2nxn=b2 (4.6.7) la,tar22 +…+ax+a-r+1xr++…+ arnt b 将其改写为 +aix,=6, a21x1+a2x2+…+a2x=b2-a2x+1-…-a2nxn +ax2+…+a,,x=b-a, 利用前面的记号,并记b b,便得到 b A1x1=b1-A12x2 令b=0,就得到类似(4.64)的齐次线性方程组的一组基础解系 为求特解,可令x2=0,得到非齐次线性方程组的一个特解 A, b 0 从而得到非齐次线性方程组的通解 x=x+∑cx0(c是任意常数,i=1,2,…,n-r) 从以上推导中可以看出,在求方程Ax=b的解时,先用初等行变换将它的 增广矩阵 (A:b), 化为(必要时要交换列的位置,这时变量也要作相应交换,但常数列b不能与其 它列交换)

的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论 4.6.3 设 A 是 mn 矩阵，则非齐次线性方程组 Ax  b 当 rank(A)  rank ( A ┆b)时有解。此时，当 rank(A)  n 时只有唯一解；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿，只是多求一步特解而已。设 rank ( A ┆b) = rank ( A ) = r，并设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       。 将原方程组 Ax  b 转化为同解方程组                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b        （4.6.7） 将其改写为                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x        利用前面的记号，并记                br b b  2 1 b1 ，便得到 A11x1  b1 12 2  A x ， 令 b1  0，就得到类似（4.6.4）的齐次线性方程组的一组基础解系 (1) x ， (2) x ， „， (nr) x 。 为求特解，可令 x2  0，得到非齐次线性方程组的一个特解           0 1 1 11 0 A b x 。 从而得到非齐次线性方程组的通解      n r i i c 1 x x0 (i) x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）。 从以上推导中可以看出，在求方程 Ax  b 的解时，先用初等行变换将它的 增广矩阵 ( A ┆b)， 化为（必要时要交换列的位置，这时变量也要作相应交换，但常数列 b 不能与其 它列交换）