可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不 等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方 程组的求解公式,即 D,/D,(j=1,2,3) 现在的问题是,对于n元线性方程组,是否也 有类似的求解公式但要讨论n元线性方程组,首 先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入n阶 行列式的概念
行列式的概念. 可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不 等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方 程组的求解公式,即 xj = Dj /D , （ j = 1, 2, 3 ）. 现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也 有类似的求解公式.但要讨论 n 元线性方程组,首 先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n 阶
第二节全排列及其逆序数 引例 引例用1,2,3三个数字可以组成多少个没 有重复数字的三位数? 解弋 在数学中,把考察的对象,例如引例中的数字 1,2,3叫做元素.上述问题就是:把三个不同的 元素排成一列,共有几种不同的排法?
一、引例 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字 1，2，3叫做元素. 上述问题就是：把三个不同的 元素排成一列，共有几种不同的排法？ 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在 百位、十位与个数上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1，2，3三个数字中任选 一个，所以有3种放法； 十位上只能从剩下的两个 数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放 最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此， 共有 3 2 1 = 6 种放法. 这六个不同的三位数是 123，231，312，132，213，321. 第二节 全排列及其逆序数
二、全排列 全排列的定义 定义把n个不同的元素排成一列,叫做这 n个元素的全排列(也简称排列) n个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn表 示.由引例宝的结果可知P3=3·2·1=6 同理Pn=n·(m-1)·…·3·2·1=n
二、全排列 全排列的定义. 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表 示. 由 引例 用1 的结果可知 ，2，3三个数字可以组成多少个没 P3 = 3 · 2 · 1 = 6. 有重复数字的三位数？ 解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在 百位、十位与个数上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1，2，3三个数字中任选 一个，所以有3种放法； 十位上只能从剩下的两个 数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放 最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此， 共有 3 2 1 = 6 种放法. 这六个不同的三位数是 123，231，312，132，213，321. 同理 Pn = n • (n – 1) • ···• 3 • 2 • 1 = n!
、排列的逆序数 1.定义 定义对于n个不同的元素,先规定各元素 之间有一个标准次序,于是在这n个元素的任 排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时,就说有1个逆序.一个排列中所有逆序 的总数叫做这个排列的逆序数.等价定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列
三、排列的逆序数 定义 对于 n 个不同的元素，先规定各元素 之间有一个标准次序 , 于是在这 n 个元素的任一 排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时，就说有 1 个逆序. 一个排列中所有逆序 的总数叫做这个排列的逆序数. 等价定义 在一个 n 阶排列 i 1 i 2 ···i n 中, 按照在排列中的顺序任取两个数,记作（i j ,i k）,其 中 j < k ,称为排列的一个数对,若 i j < i k ,则称 这两个数构成顺序; 若 i j >i k ,则称这两个数构成 逆序. 一个 n 阶排列中逆序的个数称为这个排列 的逆序数. 1. 定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列
2.计算方法 下面来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性,不妨设n个元素为1至n这n个 自然数,并规定由小到大为标准次序.设 p1p2.pn 为这n个自然数的一个排列,考虑元素p(i=1, 2,…,n),如果比p大的且排在p前面的元素有 1个,就说p这个元素的逆序数是1.全体元素的 逆序数之总和
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 2. 计算方法 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个 自然数， 并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p 1 2 为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi （i = 1, 2, ···, n）， 如果比 pi大的且排在 pi前面的元素有 t i 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 t i . 全体元素的 逆序数之总和