上游充通大兽 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.4.偏序关系与偏序集 定义2.6.令S为一个非空集合，在S上给定一个 关系，记作“≤”，若“≤”具有下述性质： ()自反性：对S中任意元素想x,都有x≤x; ()反对称性：由x≤y与y≤x都成立必有x=y; (ii)传递性：由x≤y与y≤z同时成立必有x≤z. 则称“≤”为集合S上的一个偏序关(partial ordering),而把序对(S,)叫作一个偏序集 (partially ordered set)
2.4.偏序关系与偏序集 定义2.6.令S为一个非空集合,在S上给定一个 关系,记作“ ≤” ,若“ ≤”具有下述性质： (i)自反性:对S中任意元素想x, 都有x≤x; (ii)反对称性:由x≤y 与y ≤x 都成立必有x=y； (iii)传递性:由x≤y 与y ≤z同时成立必有x≤z. 则称“ ≤”为集合S上的一个偏序关(partial ordering), 而把序对(S, ≤) 叫作一个偏序集 (partially ordered set)
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例2.2.设n为给定之正整数，S为由n的全体正 因数组成的集合，则S关于整数的整除关系 构成一个偏序集
例2.2.设n为给定之正整数，S为由n的全体正 因数组成的集合，则S 关于整数的整除关系 构成一个偏序集
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例2.3.设A为给定之有限集，S为由A的全体 子集（包括S本身与空集Φ）组成的集合，则 S关于集合的包含关系构成一个偏序集
例2.3. 设A为给定之有限集，S为由A的全体 子集(包括S本身与空集Φ）组成的集合，则 S关于集合的包含关系构成一个偏序集
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.5.全序集 若≤y但xy,则记作x<y. 定义2.7.设(S,s)为一个偏序集，若对S 中任意两个不同元素x与y,在x<y与y<x两 式之中必有且只有一式成立，则称（S,≤) 为一个全序集(totally ordered set)
2.5.全序集 若 x≤y 但x≠y，则记作 x<y. 定义2.7.设(S, ≤)为一个偏序集，若对S 中任意两个不同元素x与y，在x <y与y<x两 式之中必有且只有一式成立，则称（S, ≤） 为一个全序集(totally ordered set)
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例2.4.全体实数的集合R关于实数的小于等于 关系是一个全序集(R,);全体正整数集合 N关于此“≤”也构成一个全序集. 思考题4：举出一些你在专业学习或生活中用 到的偏序关系和偏序集以及全序集之例
例2.4.全体实数的集合R关于实数的小于等于 关系是一个全序集（R,≤）；全体正整数集合 N 关于此“≤”也构成一个全序集. 思考题4：举出一些你在专业学习或生活中用 到的偏序关系和偏序集以及全序集之例