情绪,但是在西隆以人民代言人的面貌跳将出来之前,这并没有 引起任何事端。西隆抓住下层民众畏惧、妄想和嫉妒的心理,诱 使他们去毁灭这个当时世界上最辉煌的数学学派。米洛的家和 毗邻的学校被包围起来,所有的门都被锁上和闩上以防有人逃 走,然后燃烧开始。米洛从这个地狱中杀出一条血路逃了出去, 但毕达哥拉斯和他的许多信徒被杀死了。 数学失去了它的第一位大英雄,但是毕达哥拉斯精神仍然 活着。数和它们的真理是永恒的。毕达哥拉斯用事实证明,与 任何别的学科相比,数学远不是一门主观的学科。他的信徒们 并不需要他们的大师来裁决一个特定的理论的正确与否,理论 的正确性不依赖于人的看法。相反,数学逻辑的解释已经成为 真理的仲裁者。这是毕达哥拉斯学派对文明的最伟大的贡献 个获得真理的方法,它不会像人类判断那样难免出错。 随着他们的创建人的死亡和西隆的攻击,兄弟会离开了克 罗敦到希腊的其他城市,但是迫害在继续着,最终他们中的许多 人不得不移居国外。这种被迫的迁徙促进了毕达哥拉斯的信徒 们在这个古老的世界中传播他们的数学真理。他们建立了新的 学校,给学生们传授数学逻辑的方法。除了他们的对毕达哥拉 斯定理的证明方法外,他们还向世界解释了寻找所谓的毕达哥 拉斯三元组的秘密。 毕达哥拉斯的三元组是三个恰好满足毕达哥拉斯方程x2 +y2=z2的整数的组合。例如,如果x=3,y=4,z=5,那么毕达 哥拉斯方程是对的: 32+42=52,9+16=25 毕达哥拉斯三元组的另一种思考方式是利用重拼正方形的方 法。如果你有一个由9块瓷砖组成的3×3正方形,一个由16
块瓷砖组成的4×4正方形,那么所有的瓷块可以拼起来组成 个有25块瓷砖的5×5正方形,如图4所示。 十 9 16 25 图4寻求毕达哥拉斯方程的整数解可以想象为寻找2个正方 形使得它们拼起来组成第3个正方形。例如,由9块瓷砖组成 的正方形可以和有16块瓷砖的正方形合起来重新安排组成第 个有25块瓷砖的正方形。 毕达哥拉斯的信徒们想发现其他的毕达哥拉斯三元组,能 合起来组成第3个更大的正方形的别的正方形。另一个毕达哥 拉斯三元组是x=5,y=12和z=13 52+122=132,25+144=169。 较大的毕达哥拉斯三元组是x=99,y=4900和z=4901。当这 些数变大时,毕达哥拉斯三元组变得更为少见,要找到它们变得 越来越因难。为了发现尽可能多的三元组,毕达哥拉斯的信徒 们发明了一种寻找它们的井井有条的方法,在此过程中他们也 证明了存在无限多个毕达哥拉斯三元组。 圆
从毕达哥拉斯定理到费马大定理 在E·T贝尔的《大问题》一书中谈到过毕达哥拉斯定理和 元组的无限性,图书馆中的这本书引起年轻的安德鲁·怀尔斯 的注意。虽然兄弟会对于毕达哥拉斯三元组已经有了几乎完整 的了解,但怀尔斯很快就发现这个表面上平淡无奇的方程x2+ y2=z2有着深藏的一面—一贝尔的书描述了一头数学怪兽的存 在。 在毕达哥拉斯方程中,3个数x,y和z都被平方了(即x2= 然而,贝尔的书中描述了它的一个姐妹方程,其中x,y和z被立 方了(即x3=xXx×x)。x在这方程中的所谓幂不再是2,而是 寻找最初那个方程的整数解,即毕达哥拉斯三元组,相对来说是 容易的,但是将幂从“2”变成“3”再来求这个姐妹方程的整数解 似乎是不可能的。多少代的数学家们在拍纸本上算了又算,却 无法找到准确地适合这个方程的数。 原来的“平方”方程提出的挑战是重新安排2个正方形中的 瓷砖以组成第3个较大的正方形。而“立方”方程的挑战则是重 新安排由砌砖组成的2个立方体以组成第3个较大的立方体。 明显地,不管选择哪2个立方体着手,当它们被组合起来时,要 么是一个完整的立方体但留下一些多余的砖,要么就是一个不 完整的立方体。与实现完美的重排最为接近的情形是多了1块
或少了1块砖。例如,如果我们从立方体63(x3)和83(y3)着手, 重新安排砌砖,那么我们只缺1块砖就能组成一个完整的 9×9×9立方体,如图5所示。 8 216 512 729-1 图5能不能将砌砖从一个立方体加到另一个立方体以组成 第3个较大的立方体?在图中的情形,一个6×6×6立方体加 上一个8×8×8立方体仍无足够的砌砖组成一个9×9×9立 方体。第一个立方体中有216(63)块砌砖,第二个中有512(83) 块。总共是728块砌砖,这比93小1 寻找3个准确地适合这立方方程的数似乎是不可能的。也 就是说,方程 似乎没有整数解。更有甚者,如果幂从3(立方)改为任何更大 的数n(即4,5,6,……),那么寻找解似乎仍是不可能的,即更 般的方程 z",当n大于2时 似乎没有整数解。在毕达哥拉斯方程中仅仅将2改为任何更大
的数,寻找整数解的工作就从相对简单变得令人难以想象地困 难。事实上,伟大的17世纪法国人皮埃尔·德·费马令人惊讶地 宣称,没有人能找到任何解的原因就在于根本没有解存在。 费马是历史上最杰出的和最有迷惑力的数学家之一。他不 可能将无穷多个数一一核对,但是他绝对确信没有任何组合会 准确地适合这个方程,因为他的结论是以证明为依据的。就像 毕达哥拉斯也不是去核对每一个三角形才证明他的定理的正确 样,费马无需核对每一个数以证明他的定理的正确。著名的 费马大定理说 x+y=z,当n大于2时没有整数解。 随着怀尔斯一章章地阅读贝尔的书,他懂得了费马是怎样被毕 达哥拉斯的工作所吸引,最终去研究毕达哥拉斯方程的变异形 式的。然后,他读到了费马宜称即使全世界所有的数学家毕其 生去寻找这个变异方程的解,他们也不会找到一个解。当时 怀尔斯一定是急切地翻阅着书页,急于想查询费马大定理的证 明。然而,书中没有证明,任何地方都没有这个证明。贝尔在书 的结尾写道,这个证明很久以前就被遗失了。怀尔斯有一种困 惑、被激怒和好奇的感觉。他找到了有趣的伙伴。 300多年来,许多最优秀的数学家试图重新发现费马遗失 了的证明,结果却失败了。每一代人的失败令下一代人沮丧,但 又使他们变得更坚定。在费马死后将近一个世纪的1742年,瑞 ①严格地说,这里还有一个附加条件,即xyz≠0,也就是说x,y和z的值不能 为0 译者