第七章线性空间与线性变换 7.1线性空间的概念 7.1.1数域(略) 定义若集合U上定义了某种运算,而U中任意元素进 行这种运算所得的结果均在U中,则称U对这种运算是封 闭的。 7.1.2线性空间的定义 定义7.2设V是非空集合,P是数域。在V的元素间 定义了一种运算“+”,称为加法:对va,B∈T,有唯一的 6∈与他们对应,称为倍和火的梨代问教研昼;
加法“+”满足: (1)a+β=B+a; (2)(a+B)+y=a+(B+y); (3)V中有一个零元素0,对∨a∈V,有a+0=a (4)a∈,存在B∈,称为a的负元素,记为-a,使 得a+(-a)=0 在P和V之间还定义了一个运算称为数乘,对a∈V和 k∈P,有唯一的元素n∈T与之对应,称为k与a的数量乘 积,记为n=ka; 哈工大数学系代数与几何教研室
数乘满是 (5)1a=a,(-l)=a; (6)k(a)=1(ka)=(kDa; (7)(k+1)=k+d (8)k(a+β)=k+kB. 以上的基本律(1)~(8)中,a,B,y是集合Ⅴ中的 任意元素,k,l是P中任意数;那末定义了这样两种运算 的集合V称为数域P上的线性空间 哈工大数学系代数与几何教研室
3线性空间的简单性质 性质7.1在数域P上的线性空间V中, (1)零元素是唯一的,记为0; (2)a∈V,a的负元素是唯一的; (3)Va∈V Vk∈P 有0a=0,k0=0和 (4)若k=0,则有k=0或=0 一些线性空间的例子 例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实 数的数乘构成实线性空间,记为Rn 哈工大数学系代数与几何教研室
例2全体m×n阶实矩阵,依照矩阵的加法和矩阵 与数的数乘构成实线性空间。记为Mmx 例3区间[a,b]上的全体连续实函数,依照函数 的加法和函数与数的乘法作为数乘构成实线性 空间,记为C[a,b] 7.1.4线性子空间 定义7.1设V是数域P上的线性空间,W 是V的非空子集合,若对于V上的加法和乘法运 算,W也是P上的线性空间,则称W为V的一个 线性子空间(简称为子空间) 哈工大数学系代数与几何教研室