第四章n维向量与线性方程组 在许多实际问题中,只用二,三维几何向量是远 远不够的。比如,在气象观测中,我们不仅要了解在某 个时刻云团所处的位置,还希望知道温度,压强等物理 参数。因此,有必要引入n元数组构成的n维向量的概 念。本章主要研究如下几个问题: (1)线性相关与线性无关; (2)向量组的最大无关组与秩; (3)线性方程组解的结构与通解 系代数与几何教研室
第四章 n 维向量与线性方程组 在许多实际问题中，只用二，三维几何向量是远 远不够的。比如，在气象观测中，我们不仅要了解在某 个时刻云团所处的位置，还希望知道温度，压强等物理 参数。因此，有必要引入 n 元数组构成的 n 维向量的概 念。本章主要研究如下几个问题： （1） 线性相关与线性无关； （2） 向量组的最大无关组与秩； （3） 线性方程组解的结构与通解
4.1n维向量 4.1.1n维向量的定义 定义4.1数域F内的n个数a,a2…,an组成的有序数组 (a1,a2,…,an)或 称为数域F上的n维行(或列)向量,数a1叫做此n维 向量的第个分量.如果F是实数域,称其为实向量;如 果F是复数域称其为复向量;记R"为实数域R上n维 向量的全体构成的集合. 哈工大数学系代数与几何教研室
4.1 n 维向量 4.1.1 n 维向量的定义 定义 4.1 数域 F 内的 n 个数 n a ,a , ,a 1 2 组成的有序数组 ( , , , ) 1 2 n a a a 或 an a a 2 1 称为数域 F 上的 n 维行(或列)向量,数ai叫做此 n 维 向量的第i 个分量.如果 F 是实数域,称其为实向量; 如 果 F 是复数域,称其为复向量;记 n R 为实数域 R 上 n 维 向量的全体构成的集合
设a=(a1,a2…,an)B=(b bn)都是n维向量,当 且仅当a=b(=1,2…,m)时,称向量a与B相等,记作 a= B 分量都是0的向量称为零向量,记作0.即 0=(0,0,,0) 若a=(a an),则(-a12-a2,…an)称为的负向量, 记为-a 若A=(an)mx,则A的每一行(列)可表示一个行(列)向 量,因此由分块阵的定义,A有两种特殊的向量表示形 式 (1)当向量y=(an1a2…an)为矩阵A的第(=12,…,m)行时 矩阵A可以表示为: 哈工大数学系代数与几何教研室
设 ( , , , ), ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn 都是 n 维向量,当 且仅当 a b (i 1,2, , n) i i 时,称向量 与 相等,记作 . 分量都是 0 的向量称为零向量,记作 0.即 0=（0,0,…,0） 若 ( , , , ) a1 a2 an ,则( , , , ) a1 a2 an 称为 的负向量, 记为 . 若 ij m n a A ( ) , 则 A 的 每 一 行 ( 列 ) 可 表 示 一 个 行 ( 列 ) 向 量 , 因 此 由 分 块 阵 的 定 义 , A 有 两 种 特 殊 的 向 量 表 示 形 式 : (1)当 向量 ( , , , ) i ai1 ai2 ain 为矩阵 A 的第i(i 1,2,,m)行时, 矩阵 A 可以表示为:
YI (2)当向量 a=0=12…n为矩阵A的第1=12n列时, 矩阵A可以表示为:A=(a1a2…an 4.1.2n维向量的运算 定义4.2设=(a1,a2 β=(b,b2,…,b1)都是n维 向量,那么,n维向量:(a1+b,a2+b2…,an+b1)叫做向 量a与B的和,记做a+B,即 哈工大数学系代数与几何教研室
m 2 1 A (2) 当向量 ( 1,2, , ) 2 1 j n a a a mj j j j 为矩阵A的第 j( j 1,2,, n)列时, 矩阵 A 可以表示为: A 1 2 n 4 . 1 . 2 n 维向量的运算 定义 4.2 设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n a a a b b b 都是 n 维 向量,那么, n 维向量: ( , , , ) a1 b1 a2 b2 an bn 叫做向 量 与 的和,记做 ,即
a+B=(a,+b, a2+b2, .,an+b 利用负向量,可规定向量的减法: B 定义4.3设a=(a1,a2…,an)是n维向量,k是数,那么, n维向量:(kan,ka2…,Mn)叫做k与向量a的乘积记做 ka,即 ka=(ka1,kd2,…kan 向量的加法与向量的数乘统称为向量的 线性运算。 n维向量的线性运算满足下面的八条性质: 哈工大数学系代数与几何教研室
( , , , ) a1 b1 a2 b2 an bn 利用负向量,可规定向量的减法: ( , , , ) a1 b1 a2 b2 an bn 定义 4.3 设 ( , , , ) a1 a2 an 是n 维向量,k 是数, 那么, n 维向量: ( , , , ) 1 2 n ka ka ka 叫做 k 与向量 的乘积,记做 k ,即 ( , , , ) 1 2 n k ka ka ka 向 量 的 加 法 与 向 量 的 数 乘 统 称 为 向 量 的 线 性 运 算 。 n 维 向 量 的 线 性 运 算 满 足 下 面 的 八 条 性 质 :