动和不同的音。关键之处在于和音只在非常特殊的一些位置上 出现。例如,在弦上恰为一半处固定弦,再拨弦会产生一个与原 来的音和谐的高八度的音。类似地,在弦上恰为1/3,1/4或 1/5处固定弦,就会产生其他的和音。然而,如果在整个弦的长 度的非简分数处固定弦,那么产生的音是不会与上述这些音和 谐的。 毕达哥拉斯首次发现了支配物理现象的数学法则,显示了 数学与科学之间有着根本的关联。从这个发现以后,科学家们 直在探究那些似乎支配着各个物理过程的数学法则,并且发 现数会意外地出现在各种各样的自然现象中。例如,一个特殊 的数似乎操纵着弯弯曲曲的河流的长度。剑桥大学的地球科学 家汉斯一亨利克·斯多勒姆(Hans- Henrik Solum)教授计算了 从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之 比。虽然这一比率因不同的河流而变化,但是它们的平均值只 比3略微大一点,也就是说大致上是直接距离的3倍。事实上 这个比近似等于3.14,接近于数π的值,即圆的周长与直径之 比 数π原本来自圆的几何学,但它还反复出现在各种各样的 科学现象中。在河长比的情形中,兀的出现是有序与素乱相争 的结果。爱因斯坦( Einstein)第一个提出,河流有一种走出更多 的环形路径的倾向,这是因为最细微的弯曲就会使外侧的水流 变快,这反过来造成对河岸更大的侵蚀和更急剧的转弯。转弯 越急剧,外侧的水流就越快,侵蚀也就越大,于是河流更为曲 折,……。然而,有一个自然的进程会中止这种紊乱:渐增的绕 圈状态其结果将是河流绕回原处而最终短路。河流将变得比较 平直,而环路被放弃,形成一个U字形湖。这两种相反的因素 16
之间的平衡导致河流从源头到出口之间的实际长度与直接距离 之比的平均值为π。对于那些在坡度很小的平原上穿越的河 十苗4 流,诸如在巴西和西伯利亚冻土带可以找到的那些河流,这个比 为π是极常见的。 毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道,一切事物 中皆藏有数。这导致他宣布“凡物皆数”( Everything is num ber)。通过探究数学的内涵,毕达哥拉斯发展着使他和其他人 能描述宇宙性质的这种语言。此后,数学上的每一次突破都会 给科学家们带来为了更好地解释他们周围的现象而需要的词 汇。事实上,数学的进展会唤起科学的革命。 除了发现引力定律外,艾萨克·牛顿( Isaac Newton)也是个 数学家。他对数学的最大贡献是对微积分的发展。在稍后的年 代里,物理学家使用微积分的语言来更好地描述引力定律和解 决引力论问题。牛顿的经典引力论幸存了几个世纪未受触动 直到它被阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论所替代;广义相对论 对引力作出了更详细的、新的解释。只是由于新的数学概念为 他提供了更精妙的语言来表达他的极复杂的科学思想,爱因斯 坦本人的思想才可能形成。今天,对引力的解释再一次被数学 的突破所影响。最新的量子引力理论和数学中的“弦”的发展密 不可分,在弦这种理论中“管”的几何和拓扑性质似乎最好地解 释了各种自然力。 在毕达哥拉斯兄弟会研究的数与自然之间的所有关系之 中,最重要的是以他们的奠基者的名字命名的那个关系。毕达 哥拉斯定理为我们提供了一个方程,它对一切直角三角形都成 立,因而它也定义了直角三角形本身。接着,直角定义垂直,即 竖直与水平的关系;最后定义我们熟悉的宇宙的三维之间的关
系。数学(利用直角)定义了我们生活着的空间的结构 它是一种深刻的了解,但是为掌握毕达哥拉斯定理所需的 数学则是相对简单的。为了理解它,就从测量直角三角形两条 短的边的长度(x和y)开始,然后将它们各自加以平方(x2,y2)。 那么这两个平方数加起来(x2y2)就给你一个最终数。如果你 对图2中的直角三角形算出这个数,那么答案是25。 足山>午 x=3,y=4,z=5 x2+y2=z2 9+16=25 图2所有的直角三角形都符合毕达哥拉斯定理。 你现在可以测量那条最长的边z(所谓的斜边),将它的长 度平方一下。引人注目的结果是这个数2与你刚才算出的那 个数完全相同,即52=25。这就是说: 在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平 方之和
换句话说(或者说换个记法): 显然这很符合图2中的三角形的情况,但出乎意外的是毕达哥 拉斯定理对每一个任意画出的直角三角形都是对的。它是数学 中一条普遍的定律。无论何时你遇到任何一个有一个直角的三 角形时,你都可以应用它。反过来,如果你有一个符合毕达哥拉 斯定理的三角形,那么你可以绝对地相信它是一个直角三角形。 虽然这个定理将永远与毕达哥拉斯联系在一起,但中国人 和巴比伦人实际上使用这个定理还要早一千年。在这方面,注 意到这一点是重要的。然而,这些文明并不知道这个定理对 切直角三角形都是对的。对于他们测试的三角形而言,它肯定 是对的,但是他们无法证明它对于他们尚未测试的所有直角三 角形都是对的。这个定理归属于毕达哥拉斯的理由是他第一个 证明了它的普遍正确。 但是毕达哥拉斯怎样知道这个定理对于每一个直角三角形 都是对的呢?他不可能期望测试无限个不同的直角三角形,然 而他仍然百分之百地确信这个定理绝对正确。使他有这种信念 的理由是由于数学证明了这个概念。寻找一个数学证明就是寻 找一种认识,这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容 置疑。最近二千五百年以来,驱使着数学家们的正是这种以证 明的方法发现最终真理的欲望。 绝对的证明 费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。数学证明比 我们在日常用语中非正式使用的证明概念,甚至比物理学家或
化学家所理解的证明概念都远为有力和严格。科学证明和数学 证明之间的差别既是极细微的又是很深奥的。这种差别是理解 自毕达哥拉斯以来每个数学家的工作的关键点。 经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发,这些陈 述有些可以是假定为真的,有些则是显然真的;然后通过逻辑论 证,一步接一步,最后就可能得到某个结论。如果公理是正确 的,逻辑也无缺陷,那么得到的结论将是不可否定的。这个结论 就是一个定理。 数学证明依靠这个逻辑过程,而且一经证明就永远是对的 数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值,应该将 它们与比其差一些的同类证明,即科学证明作一比较。在科学 中,一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现 象的观察结果与这个假设相符,这就成为这个假设成立的证据。 进一步,这个假设应该不仅能描述已知的现象,而且能预言其他 现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力,如果它 再次继续成功,那么就有更多的证据支持这个假设。最终,证据 的数量可能达到压倒性的程度,于是这个假设被接受为一个科 学理论。 科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的 绝对程度:它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。 所谓的科学证明依赖于观察和理解力,这两者是容易出错的,并 且仅仅提供了近似于真理的概念。正如贝特兰·罗素( Bertrand Russell指出的:“虽然这有点像是悖论,然而所有的精确科学都 被近似性这个观念支配着。”甚至被人们最为普遍地接受的科学 证明”中也总有着一点儿可疑成份。有时候,这种怀疑会减少, 尽管它永远不会完全消失;而在另一些场合,这种证明最终会被