意义的数,其中某些最特殊的数就是所谓的“完满”数。 按照毕达哥拉斯的说法,数的完满取决于它的因数(能整除 原数的那些数)。例如:12的因数是1,2,3,4和6。当一个数的 各因数之和大于该数本身时,该数称为“盈”数。于是12是一个 盈数,因为它的因数加起来等于16。另一方面,当一个数的因 数之和小于该数本身时,该数称为“亏”数。所以10是一个亏 数,因为它的因数(1,2和5)加起来只等于8 最有意义和最少见的数是那些其因数之和恰好等于其本身 的数,这些数就是完满数。数字6有因数1,2和3,结果它是一 个完满数,因为1+2+3=6。下一个完满数是28,因为1+2+ 4+7+14=28。 如同6和28的完满对兄弟会来说具有数学上的意义一样, 还有从事别的文化的人也确认它们的完满,有人观察到月亮每 28天绕地球一圈,有人声称上帝用了6天创造世界。在《天堂 ( The City of(od)一书中,圣奥古斯丁(St. Augustine)辩说道 虽然上帝能够在瞬间创造世界,但为了表现天地万物的完满 他还是用了6天。”圣奥古斯丁认为6并不是因为上帝选择了它 才是完满的,而恰恰相反,完满是数的性质中固有的:“6是一个 数,因其本身而完满,并非因上帝在6天中创造了万物;倒过来 说才是真实的;上帝在6天中创造万物是因为这个数是完满 的。 当计数数变得更大时,完满数变得难于寻找。第三个完满 数是496,第四个是8128,第五个是3350336,而第六个则是 8589869056。除了是它们的因数之和外,毕达哥拉斯还指出所 有的完满数显示出另外几个美妙性质。例如,完满数总等于 系列相邻的计数数之和。我们有
6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+30+31, 8128=1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+126+127。 毕达哥拉斯因完满数而欣喜,但他并不满足于只是收集这些特 殊的数;相反,他想要发现它们更深层的意义。其中之一,他察 觉到完满性与“倍2性”有密切关系。数4(2×2),8(2×2×2), 16(2×2×2×2)等等称为2的幂,可写成2,这里n表示相乘在 起的2的个数。所有这些2的幂刚巧不能成为完满数,因为 它们的因数之和总是比它们本身小1。它们只是微亏 22=2×2 4,因数1,2 和=3 23=2×2×2 =8,因数1,2,4 和=7 24=2×2×2×2=16,因数1,2,4,8 和=15, 25=2×2×2×2×2=32,因数1,2,4,8,16和=31。 两个世纪之后,欧几里得(Eucd)使毕达哥拉斯发现的倍2性 和完满性之间的联系更臻精美。欧几里得发现完满数总是两个 数的乘积,其中一个数是2的幂,而另一个数则是下一个2的幂 减去1。这就是说 6 21×(22-1), 28=22×(23-1), 496=24×(25-1) 8128=26×(2-1) 当代的计算机继续搜索完满数,发现了像221609×(226091-1)
这样巨大的数的例子,这是一个130000位以上的数,它仍符合 欧几里得法则。 毕达哥拉斯为完满数具有的丰富的模式和性质所吸引,他 赞赏它们的精妙。初看之下,完满性是相当容易掌握的概念,然 而古希腊人并未能探知这个问题中的某些基本要点。例如,虽 然有许多数它们的因数之和只比该数本身小1,即只是微亏,但 似乎不存在微盈的数。令人沮丧的是,虽然他们没有发现微盈 的数,却不能证明这种数不存在。只知道表面上没有徽盈的数 是没有任何实际价值的;但尽管如此,它却是一个可能启示这种 数的性质的问题,因而值得研究。这样的谜引起了毕达哥拉斯 兄弟会的兴趣,但两千五百年后数学家们仍然未能证明微盈数 不存在。 凡物皆数 除了研究数之间的关系之外,数与自然之间的关系也引起 了毕达哥拉斯的兴趣。他认识到自然现象是由规律支配的,这 些规律可以用数学方程来描述。他首先发现的联系之一是音乐 的和声与数的调和之间的基本关系。 古希腊早期的音乐中最重要的乐器是四弦琴,或者叫四弦 里拉。在毕达哥拉斯之前,音乐家们就注意到当几个特定的音 起发声时会产生悦耳的效果,他们调里拉的音直到齐拨两根 弦时会产生这种和声为止。然而,早先的音乐家并不理解为什 么特定的几个音会是和谐的,乐器调音也没有客观的方法。他 们纯粹凭耳朵来调里拉的音,直到处于和声状态为止—柏拉 图( Plato)称这个过程为折磨弦轴。 13
公元4世纪时的学者扬勃里柯斯( Iamblichus)写过9本关 于毕达哥拉斯学派的书,他描述了毕达哥拉斯怎么会发现音乐 和声的基本原理的: 次,他全神贯注地思考着他是否能够设计出一种既 可信又精巧的听觉方面的机械辅助物。这种辅助物要类似 于圆规、直尺和为视觉方面设计的光学器具。同样地,触觉 方面有秤以及关于重量和量度的概念。真是天赐好运,他 碰巧走过一个铁匠铺,除了一片混杂的声响外,他听到了锤 子敲打着铁块,发出多彩的和声在其间回响。 按照扬勃里柯斯的描写,毕达哥拉斯立即跑进铁匠铺去研 究锤子的和声。他注意到,大多数锤子可以同时敲打而产生和 谐的声响,而当加人某一把锤子一起敲打时总是产生令人不快 的噪声。他对锤子进行分析,认识到那些彼此间音调和谐的锤 子有一种简单的数学关系——它们的质量彼此之间成简单比, 或者说简分数。就是说,那些重量等于某一把锤子重量的1/2, 13或1/4的锤子都能产生和谐的声响。另一方面,那把和任 何别的锤子一起敲打时总发出噪声的锤子,它的重量和别的锤 子的重量之间不存在简比关系。 毕达哥拉斯已经发现数值的简比在音乐的和声中起决定作 用。科学家们对扬勃里柯斯关于这个故事的描述表示某种怀 疑,但是毕达哥拉斯通过研究单弦的性质将他关于乐声比的新 理论应用于里拉这种乐器这件事是确确实实的。单单拨弦会产 生一个标准音,它是由那根振动着的弦的整个长度产生的。如 图1所示,通过将弦在其长度的某处固定,就可能产生不同的振
图1一根自由振动的空弦产生一个基音。设法在弦上正好 一半处形成一个节,那么产生的音则是与原来的基音和谐的高 八度的音。通过移动节的位置至弦上不同的简分数距离(例如 1/3.1/4,1/5)处,可以产生不同的和音