它却藏有大量智力测验的书籍,正是这些书籍常常引起安德鲁 的注意。这些书中含有各种难解的科学难题和数学之谜,而每 个问题的解答可能会扼要地展示在最后几页的某个地方。但是 这一次安德鲁被一本书吸引住了,这本书只有一个问题而没有 解答。 这本书就是埃里克·坦普尔·贝尔( Eric Temple bel)写的 大问题)( The Last problem),它叙述了一个数学问题的历史, 这个问题的根子在古希腊,但是达到成熟是在17世纪。正是在 那个时候,伟大的法国数学家皮埃尔·德·费马( Pierre de fer mat)于无意之中使它成了此后岁月中的一个挑战性问题。费马 遗留下来的这个难题使一个又一个大数学家望而生畏,长达 300多年还没有人能解决它。数学中还有许多别的未解决的问 题,但是费马问题表面上的那种简明易懂使它成为一个非常独 特的问题。在与第一次读贝尔的描写相距30年之后的今天,怀 尔斯告诉我他在被引向费马大定理的那个时刻的感受:“它看上 去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正 摆着一个我一一个10岁的孩子—一能理解的问题,从那个时 刻起,我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。” 这个问题看上去如此简易,因为它立足于人人都能记住的 段数学术语—毕达哥拉斯( Pythagoras)定理o: 在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平 方之和。 ①亦称勾股定理、商高定理。—译者
作为这段毕氏歌谣的结果,这个定理已深深刻印在不说是上亿 人也有数以百万计的人的脑海中。它是每个天真无邪的学童必 须要学的基本定理。但是尽管它确实能被10岁的孩子所理解, 毕达哥拉斯的创造却启示了一个问题,这个问题曾经挫败了历 来最伟大的数学智者们。 萨摩斯岛( Samos)的毕达哥拉斯是数学史上最具影响但又 是最神亵的人物之一。由于没有关于他的生活和工作的第一手 资料,他被笼罩在神秘和传说之中,使得历史学家们难以分清事 实与虚构。似乎可以肯定的一件事是毕达哥拉斯发展了关于数 字的逻辑的思想,并且对数学发展的第一个黄金时期功不可没 由于他的天才,数不再是仅仅用来记帐和计算,其本身的价值受 到了重视。他研究了一些特殊的数的性质、它们之间的关系以 及它们的组成方式。他认识到数独立于有形世界而存在,因而 他们的研究不会因感觉的差错而受影响。这意味着他能够发现 独立于人们的印象或者说偏见的真理,这种真理比以前的任何 知识更为绝对无疑。 生活在公元前6世纪,毕达哥拉斯的数学技能得益于他走 遍了整个古代世界。某些传说使我们相信他的足迹曾远及印度 和英国,但更为可靠的是他从埃及人和巴比伦人那里学到了许 多数学技能和工具。这两个古老的民族当时已经超越了简单计 数的范围而能够进行复杂的计算,这使他们能建立复杂的记帐 系统和建造独具匠心的建筑物。事实上,他们将数学看成仅仅 是解决实际问题的一种工具;在发现几何学的某些基本规则的 背后,其动机是为了能重建田地的边界,这些边界在尼罗河每年 泛滥时常被毁掉。几何学这个词本身意指“测量土地”。 毕达哥拉斯注意到,埃及人和巴比伦人按照一种无需思索
就能仿效的方法进行计算。这种可能已经沿袭了许多代人的方 法总能给出正确的答案,因而没有人会费神去怀疑这种方法,或 者去寻求隐藏在这些式子背后的逻辑。对这些文明古国来说, 重要的是计算有效—至于它为什么有效则是无关紧要的。 经历20年的周游后,毕达哥拉斯已经吸收了他所知的那个 世界中所有的数学法则。他扬帆起航回到他的家乡爱琴海中的 萨摩斯岛,打算建立一所学校致力于哲学研究,特别是研究他新 近获得的一些数学法则。他想要理解数字,而不是仅仅使用它 们。他希望找到一大群思想无拘束的、能帮助他发展本质上全 新的哲学的学生,但是在他外出期间,僭王波利克拉特斯(Poly crates)已经把曾经是自由的萨摩斯岛变成了一个不容异说的保 守的社会。波利克拉特斯邀请毕达哥拉斯加入他的宫廷,但是 哲学家意识到这是一种策略,目的是使他保持沉默,于是拒绝了 这份荣耀。相反,他离开了城市,选择了该岛边远地区的一个山 洞,在那里他可以冥思苦想而不用害怕受迫害。 毕达哥拉斯并不喜欢孤独,最终他花钱使一个小男孩成为 他的第一名学生。这个男孩的身份不甚清楚,但有些历史学家 认为他的名字可能也叫毕达哥拉斯。这名学生后来是第一个建 议运动员应该吃肉以增强自己体质的人,并因此而出名。老师 毕达哥拉斯要为他的学生出席的每一节课付给他3个小银币。 几个星期过去后,毕达哥拉斯注意到该男孩最初的对学习的勉 强已转变成对知识的热情。为了试探他的学生,毕达哥拉斯佯 装他不再有能力支付学生金钱,因而只能停止上课。这时候,男 孩表示宁可付钱受教育也不愿就此结束。这个学生已经成为他 的信徒。遗憾的是,这是毕达哥拉斯在萨摩斯仅有的一次使人 成功皈依。他的确曾经短暂地办过一所学校,称为毕达哥拉斯 8
半圆,但是他关于社会改革的观点不受欢迎,哲学家被迫与他的 母亲和唯一的信徒一起逃离这块殖民地。 毕达哥拉斯动身去意大利南部(当时那里是希腊的属地), 并定居于克罗敦( Groton)。在那里他幸运地得到了米洛(Milo) 的理想的赞助,米洛是克罗敦最富有的人,也是历史上最强壮的 人之一。虽然毕达哥拉斯作为萨摩斯的哲人已经闻名全希腊, 但米洛的声望更高。米洛有着大力神赫丘利( Herculean)般的 身材,曾经是奥林匹亚竞技会和皮托竞技会有12次记录的冠 军。除了练习运动外,米洛还喜欢研究哲学和数学。他留出他 家的一部分房子,供给毕达哥拉斯足够的房间来建立学校。于 是,最有创造性的头脑和最有力量的身躯结成了伙伴关系 安置好他的新家后,毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯兄弟会 一个有600名迫随者的帮会,这些人不仅有能力理解他的 讲课,而且还能补充某些新的想法和证明。一旦参加兄弟会后, 每个成员就必须将他们尘世间的一切财产捐献绐公共基金。任 何成员如果离开该会,那么他们可收到相当于他们最初捐献的 两倍的财产,并为他们竖立一块碑以志纪念。兄弟会是一个 奉行平等主义的学派,吸收了几名姐妹参加。毕达哥拉斯最喜 欢的学生是米洛的女儿,美丽的西诺( Theano)。尽管年龄相差 不少,他们最终还是结婚了。 建立兄弟会后不久,毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家” ( philosopher),与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席 奥林匹亚竞技会时,弗利尤斯(Phus)的利昂(Leon)王子问毕达 哥拉斯他会如何描述他自己,毕达哥拉斯回答道:“我是一个哲 学家。”但是利昂以前没有听说过这个词,因而请他解释
利昂王子,生活正好比这些公开的竟技会。在这里聚 集的一大群人中,有些人受奖励物的诱惑而来,另一些人则 因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来,但他们中间 也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。 生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右,另一些 人因热衷于权力和支配而盲从,但是最优秀的一类人则献 身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥 秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方 面都是很有智慧的,但是他能热爱知识,视其为揭开自然界 奥秘的钥匙。 虽然许多人知道毕达哥拉斯的抱负,但兄弟会圈外的人都 不知道他成功的详情和程度。该学派的每个成员被迫宣誓永不 向外界泄露他们的任何数学发现。甚至在毕达哥拉斯死后,还 有一个兄弟会成员因为背弃了誓言而被淹死——他公开宣布发 现了一种由12个正五边形构成的新的规则立体:正十二面体。 毕达哥拉斯兄弟会的高度秘密性质是为何一些神话故事围绕着 他们可能举行过的奇异仪式来展开情节的部分原因;同样,这也 是为什么关于他们的数学成就的可靠记载如此之少的原因。 可以确认的是毕达哥拉斯缔造了一种社会精神,它改变了 数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜 的偶像之一是数,他们相信,通过了解数与数之间的关系,他们 能够揭示宇宙的神圣的秘密,使他们自己更接近神。特别是,兄 弟会将注意力集中于“计数数”(1,2,3,…)和分数的研究。计数 数有时也叫“整数”,它们与分数(整数之间的比)一起可称之为 有理数”。在这无穷多个数中间,兄弟会寻找那些有特殊重要 10