§5.2可积函数 定理5.2.1(levi定理)若φ,(x)为可测集E上的非负可测函数列, 且满足中n(x)≤中n(x),中,(x)→f(x)(n→+∞),则 fdx=lim「φdx 证明GG,E)={(x,y)10≤yf(x)},G{Φn,E)={(x,y)10≤y<中。}然 而G(p,E)cG(pn,E),且G(,.B)=∪c(n,E),由外极限定理知:。fdx mG(,E)=lmG(,E)=m∫中,d.证毕 定理5.2.2( Fatou引理)若φn(x)为可测集E上的非负可测函数列, 则[limφ,(x)dx≤lim[φ,d 证明因为Iim中n(x)= sup inf中n(x),令Ws(x)= inf o(x),则 n(x)≤n(x),im中n(x)=limn(x),于是[lim中n(x)dx 「。mw(x)kx=m。甲x=m』W≤m中,d,证毕。 定理5.2.3(控制收敛定理)若f,(x)为可测集E上的可测函数列,存 在E上可积函数F(x)满足n(x)≤F(),fn()-f(x)ae于E,则fx fn dx 证明F(x)+f(x)≥0且在E上可测,则由定理5.2.2知 lim [F(x)+f(x)]dx< lim LF(x+f(x)]dx
§５.２ 可积函数 定理５.２.１ (levi 定理)若 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函数列， 且满足 φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)，则 ∫E fdx＝n→∞ lim ∫E φn dx 证明 G ( ) f , E ＝｛(x,y)｜0≤y<f(x)｝，G ( E) n Φ , ＝｛(x,y)｜0≤y<φn ｝然 而 G ( ) Φn , E ⊂ G ( ) Φn+1 , E ，且 G ( f , E)＝U ∞ n=1 G ( E) n Φ , ，由外极限定理知：∫E fdx ＝mG ( ) f , E ＝n→∞ lim mG ( ) Φn , E ＝n→∞ lim ∫E φn dx. 证毕 定理５.２.２ (Fatou 引理)若 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函数列， 则∫E n→∞ limφn (x)dx≤n→∞ lim ∫E φn dx 证明 因为n→∞ lim φn (x)＝ 1 sup N≥ n≥N inf φn (x)，令 ψ N (x)＝ n≥N inf φ n (x)，则 ψn (x)≤ψn+1 (x)，n→∞ limφn (x)＝n→∞ lim ψn (x)，于是∫E n→∞ limφn (x)dx＝ ∫E N→∞ lim ψ N (x)dx＝ N→∞ lim ∫E ψ N dx＝ N→∞ lim ∫E ψ N dx≤n→∞ lim ∫E φn dx，证毕。 定理５.２.３ （控制收敛定理） 若 f n (x)为可测集 E 上的可测函数列， 存 在 E 上可积函数 F(x)满足|f n (x)|≤F(x)，f n (x)─→f(x) a.e 于 E，则 ∫E fdx ＝n→∞ lim ∫E f n dx 证明 F(x)＋f n (x)≥0 且在 E 上可测，则由定理５.２.２知 ∫E n→∞ lim [F(x)＋f n (x)]dx≤n→∞ lim ∫E [F(x)＋f n (x)]dx
「。F(xd+」mfn(x)d≤』F()+mf,d 即[limf(x)dx≤lim[fd。同理F(x)-f(x)≥0且在E上可测,则由 定理5.2.2知imF(x)-fn(x)]dx≤lim[F(x)-fn(x)]dx, 「。F(x)dx-mfn(x)dx≤』F(x)dx-m limf.(x)dx≥ 「。imnf,(x)x≤mf,≤m』f,≤。mfn(x)k,而 fn(x)-f(x)ae于E,故fdx= lim f, dx 注5.2.1:将定理5.2.3中条件fn(x)-→f(x)ae于E,改为 fn(x)n+f(x)于E后,结论仍成立。 事实上,若mfn(x)x≠lim』fnd,令a=fdx, 则E0及f满足「fdx-a|≥E0,显然f(x)=)f(x)于E,由 Lebesgue定理知:3f(x)-→f(x)ae于E,从而[f(x)dkx= limn「fndx矛盾。证毕 推论5.2.1若中n(x)为可测集E上的非负可测函数列,其中至少有 个中(x)在E上可积且满足中n(x)≥中n1(x),中。(x)→f(x)(n→+∞), 则∫fdkx=limn「中,dx 证明:令F(x)=中(x),由定理5.2.3即得结果 定理5.2.4若fn(x)为可测集E上的非负可测函数列,则
∫E F(x)dx＋ ∫E n→∞ lim f n (x)dx≤∫E F(x)dx＋n→∞ lim ∫E f n dx 即∫E n→∞ lim f n (x)dx≤n→∞ lim ∫E f n dx。同理 F(x)－f n (x)≥0 且在 E 上可测，则由 定理５.２.２知∫E n→∞ lim [F(x)－f n (x)]dx≤n→∞ lim ∫E [F(x)－f n (x)]dx， ∫E F(x)dx－ ∫E n→∞ lim f n (x)dx≤∫E F(x)dx－n→∞ lim ∫E f n dx，即 ∫E n→∞ lim f n (x)dx≥n→∞ lim ∫E f n dx， ∫E n→∞ lim f n (x)dx≤n→∞ lim ∫E f n dx≤n→∞ lim ∫E f n dx≤∫E n→∞ lim f n (x)dx，而 f n (x)─→f(x) a.e 于 E，故 ∫E fdx＝n→∞ lim ∫E f n dx 注 5.2.1 ：将定理５.２.３中条件 f n (x)─→f(x) a.e 于 E，改为 f n (x) →∞ ⇒n f(x)于 E 后，结论仍成立。 事实上，若∫E n→∞ lim f n (x)dx≠n→∞ lim ∫E f n dx，令 α＝ ∫E fdx， 则ョ ε0及 f ni 满足 | ∫E f ni dx－α|≥ε0，显然 f n0 (x)＝>f(x)于 E，由 Lebesgues 定理知：ョ f j n0 (x)─→f(x) a.e 于 E，从而∫E f(x)dx＝ j→∞ lim ∫E f j n0 dx 矛盾。证毕 推论５.２.１ 若 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函数列，其中至少有一 个 φn0 (x)在 E 上可积且满足 φn (x)≥φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)， 则 ∫E fdx＝n→∞ lim ∫E φn dx 证明：令 F(x)＝φn0 (x)，由定理５.２.３即得结果。 定理５.２.４ 若 f n (x)为可测集 E 上的非负可测函数列，则
f dx 证明令中=∑fn,f=∑fn则中,(x)为可测集E上的非负可测函 数列,且满足φN(x)≤φN1(x),中(x)→f(x)(N→+∞),从而由L 定理知: f=m中x=!mf,d=∑ fndx,证毕 定理5.2.5:设f(x)在E上有积分值,若E=∪En,且互不相交, 则f在每一个E上有积分值,且[fdx= 证明若f(x)为可测集E上的非负可测函数,令 f(x)当x∈En f (x)= g 由定理5.2.4知:∫f=∑f,x=∑Jfdx,若f(x)为可测集E 上的一般可测函数,则f=f'-f,「fx=∑ ∑.fdx至少有一个有限,』fk=」r'dx- f d ∑∫fdx,证毕 定理5.2.6f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数,在[a,b]上关 于x可积,在[c,d上关于t处处可微,且存在[a,b]上的可积函数F(x)满足 f,'(x,t)|≤F(x)(vt∈[c,d])
∫E ∑ ∞ n=1 f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫E f n dx 证明 令 φ N ＝∑= N n 1 f n ,f＝∑ ∞ n=1 f n 则 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函 数列，且满足 φ N (x)≤φ N+1 (x)，φ N (x)→f(x) (N→＋∞)，从而由 Levi 定理知：∫E fdx＝ N→∞ lim ∫E φ N dx＝n→∞ lim ∫E f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫E f n dx， 证毕。 定理５.２.５：设 f(x)在 E 上有积分值，若 E＝U ∞ n=1 E n ，且互不相交， 则 f 在每一个 E n 上有积分值，且 ∫E fdx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx 证明 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，令 ∉ ∈ = n n n x E f x x E f x 当 当 0 ( ) ( ) ， 由定理５.２.４知：∫E fdx＝ ∫E ∑ ∞ n=1 f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx，若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，则 f＝f + －f − ，∫E f + dx＝∑ ∞ n=1 ∫En f + dx 与∫E f − dx＝ ∑ ∞ n=1 ∫En f − dx 至少有一个有限， ∫E fdx＝∫E f + dx－∫E f − dx＝ ∑ ∞ n=1 ∫En f + dx －∑ ∞ n=1 ∫En f − dx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx，证毕。 定理５.２.６ f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数，在[a,b] 上关 于 x 可积，在[c,d]上关于 t 处处可微，且存在[a,b]上的可积函数 F(x)满足 |f t '(x,t)|≤F(x) (∀ t∈[c,d])
f(x, t)dx dt J[a, bl la, blr d f(x,x+△)k f(x, t)a 证明 △t→0 f(x,x+△)-f(x, = lim[ A( (x.x+an)-/(x(a.→0,n-) 则由微分中值定理知:30≤0n≤1满足 f(x,t f(x, x+a)-f(,t) =|f,’(x,t+0nan)|≤F(x),由控制收敛定 理知 x+a lim b 即dt f(x, t)dx= bI la, b] f,(x,t)dx,证毕 本来,(L)积分定义已经给出了计算积分的具体步骤,然而对大部分积分 而言,沿着此步骤非常繁琐,在此我们介绍一些有用的工具和技巧。 例5.2.1设R(x)={m epx="且(,m)=1 求[,R(x)dx 0x为中的无理数 ,1 解:因为R(x)=0e于[0,1J],于是[R(x)d=0dx=0
dt d ∫[ ] a,b f(x,t)dx＝∫[ ] a,b f t '(x,t)dx 证明 dt d ∫[ ] a,b fdx＝ ( ) ( ) [ ] [ ] t f x x t dx f x t dx a b b a t ∆ + ∆ − ∫ ∫ ∆ → , , 0 , , lim ＝ ( ) ( ) [ ] dx t f x x t f x t t ∫a b ∆ + ∆ − ∆ →0 , , , lim ＝ ( ) ( ) [ ] dx f x x f x t a b n n n ∫ + − →∞ , , , lim α α （α n → 0，n→∞） 则由微分中值定理知：ョ 0≤θn ≤1 满足 f n (x,t)＝ ( ) () n n f x x f x t α , +α − , ＝|f t '(x,t＋θn αn )|≤F(x)，由控制收敛定 理知 ( ) ( ) [ ] dx f x x f x t a b n n n ∫ + − →∞ , , , lim α α ＝ ( ) ( ) [ ] dx f x x f x t a b n n n ∫ + − , →∞ , , lim α α 即 dt d ∫[ ] a,b f(x,t)dx＝∫[ ] a,b f t '(x,t)dx，证毕。 本来，（L）积分定义已经给出了计算积分的具体步骤，然而对大部分积分 而言，沿着此步骤非常繁琐，在此我们介绍一些有用的工具和技巧。 例 5．2．1 设 R（x）＝ [ ] ( ) [ ] ∈ = = 为 中的无理数。 且 0, 0,1 , 0,1 , , 1, 1 x n m m n x x m ，求∫[ ] 0,1 R（x）dx ＝？ 解：因为 R（x）＝0a.e 于［0，１］，于是∫[ ] 0,1 R（x）dx＝∫[ ] 0,1 0dx＝0
定理5.2.7设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积且 1)存在∈[a,b满足[fdx=(b-a)f(5) fdx=F(b)-F(a),其中F(x)为f(x)的任一原函数。 证明因为f(x)在[a,b]上连续,所以f在测度有限集[a,b]上有界可测,所 以可积 1)设M=maxf(x),m=minf(x),则m(b-a)≤[fdx≤M(b-a),即 m≤≤M,由连续函数介值定理知:存在∈[a,b]满足 f() 2)令G(x) fdx,则 -L:/(M0M Ax f(dt 由1)知:存在5∈[x+Ax]满足=f(5故 f(dr lim lim Ji, t+arl/(dr lim f(S )=f(x), Ax→0 即G(x)=f(x),同理G′(x)=f(x),所以G(x)=f(x),即F(x)=G(x)+C, 其中C=F(a)。证毕 例5.2.2设()={5mxx为中的无理数,求[r(x)d 为p]中的有理数 解因为f(x) a.e于[0,1] Lcos1-cos0=1-cos1
定理５.2.7 设 f(x)在[a,b]上连续，则 f(x)在[a,b]上可积且 1）存在ξ ∈[a,b]满足∫[ ] a,b fdx＝（b-a）f(ξ ) 2) ∫[ ] a,b fdx＝F（b）- F(a),其中 F（x）为 f(x)的任一原函数。 证明 因为 f(x)在[a,b]上连续，所以 f 在测度有限集[a,b]上有界可测，所 以可积。 1）设 M= x [ ] a,b max ∈ f(x)，m= x [ ] a,b min ∈ f(x),则 m(b-a)≤∫[ ] a,b fdx≤M(b-a),即 m≤ [ ] b a fdx a b − ∫ , ≤M，由连续函数介值定理知：存在ξ ∈[a,b]满足 [ ] b a fdx a b − ∫ , ＝f(ξ )， 即∫[ ] a,b fdx＝（b-a）f(ξ )。 2）令 G（x）＝∫[ ] a,x fdx，则 ( ) ( ) [ ] [ ] x f t dt f t dt a x x x a ∆ − ∫ ∫ , , +∆ ＝ ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ 由 1）知：存在 [ ] x x x ξ ∆x ∈ , + ∆ 满足 ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ = f(ξ ∆x ),故 () () [ ] [ ] x f t dt f t dt a x x x a x ∆ − ∫ ∫ +∆ ∆ → , , 0 lim ＝ 0 lim ∆x→ ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ ＝ 0 lim ∆x→ f(ξ ∆x )=f(x)， 即 G’(x + )＝f(x),同理 G’(x − )＝f(x)，所以 G’(x)=f(x),即 F（x）＝G(x)+C, 其中 C=F(a)。证毕 例５．2．２ 设 f(x)＝ [ ] [ ] 为 中的有理数 为 中的无理数 arctan , 0,1 sin , 0,1 2 x x x x ，求∫[ ] 0,1 f（x）dx ＝？ 解 因为 f（x）＝sin x a.e 于［０，１］，∫[ ] 0,1 f（x）dx＝∫[ ] 0,1 sinxdx ＝-[cos1-cos0]＝1-cos1