第三节线性相关性的判别定理
第三节 线性相关性的判别定理
定理1若向量组A:a1,ax2…,∝n线性相关 向量组B:a12…,Cn,n1也线性相关.反言之,若向量 组B线性无关,则向量组A也线性无关 证由a12a2…an线性相关,故存在k12k2…kn 不全为0,使k2a1+k2a2+…+kn2an=0 从而k41+k2a2+…+knan+0am+=0其中 k1,k2,…kn,0这m+1个数不全为0。故向量组 1,…4mam+1线性相关
组B 线性无关,则向量组A也线性无关 . 向量组 也线性相关.反言之,若向量 定理1 若向量组 线性相关,则 : , , , , , , 1 1 1 2 m m+ m B A ： 证 由 a a am , , 1 2 线性相关，故存在 m k , k , , k 1 2 不全为0，使 k1 a1 + k2 a2 ++ km am = 0 从而 k1 a1 + k2 a2 ++ km am + 0am+1 = 0 其中 k1 , k2 , km ,0 这 m+1 个数不全为0。故向量组 1 1 , , , a am am+ 线性相关
y定理2若维向量组 a1=(an12a12,…an)(t=1,2,…,m) 线性无关,则每个向量各添上一个分量后,得到的 r+1维向量组 B1=(an12 irir+1 )(i=1,2,…,m) 也线性无关。 证用反证法假设1,B2…βn线性相关,则存在不 全为0的数k,k2…,kn+,使 kB1+k2B2+…+knBn=0
定理2 若 r 维向量组 ( , , ) ai = ai1 ai2 air (i =1,2, ,m) 线性无关，则每个向量各添上一个分量后，得到的 r +1 维向量组 ( , , ) i = ai1 ai r ai,r+1 (i =1,2, ,m) 也线性无关。 证 用反证法.假设 m , , 1 2 线性相关，则存在不 全为0的数 1 2 1 , , , m+ k k k ，使 k1 1 + k2 2 ++ km m = 0
即k1a1+k2a21+…+kn2an1=0, k 112 k2+…+k 0 k1a1+k2a2n+……+knmn=0, k 1.r+1 tka 202r+1 +∵+k m.r+ =0 前r个式子写成向量形式,即 k1a1+k2a2+…+ k.a.=0. 于是a12a2…am线性相关,与已知矛盾。 所以向量组B1,B2…B线性无关
0, 0, 0, 0, 1 1, 1 2 2, 1 , 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = + + + = r+ r+ m m r+ r r m m r m m m m k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a 即 前 r 个式子写成向量形式，即 0. k1 a1 + k2 a2 ++ km am = 于是 a a am , , 1 2 线性相关，与已知矛盾。 m , , 所以向量组 1 2 线性无关