4.线性组合 若干个同维数的列向量(或同维数的行向 量)所组成的集合叫做向量组 给定向量组4:a1,a2,…,Cn,对于任何一 组实数k1,k2…,kn向量 Cx1+k,C2+∴+k,C 称为向量组A的一个线性组合。 k1,k2…,kn称为这个线性组合的系数
4. 线性组合 若干个同维数的列向量（或同维数的行向 量）所组成的集合叫做向量组． 组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2 m m k1 1 + k2 2 ++ k 称为向量组A的一个线性组合。 向量 m k k , k 1 ， 2 ， 称为这个线性组合的系数
给定向量组A:a1,a2…,an和向量B,如果存在 组数λ,22…n,使 B=1+22a2+…nan 则向量B是向量组A的一个线性组合,这时也 称向量β能由向量组A线性表示 即线性方程组 xa1+x2O2+…+xn2On=B 有解
= 1 1 + 2 2 +m m 一组数 使 给定向量组 和向量 如果存在 ， ， ， ， m A m , : , , , 1 2 1 2 有解. 即线性方程组 x1 1 + x2 2 ++ xm m = 则向量 是向量组 A 的一个线性组合，这时也 称向量 能由向量组 A 线性表示．
5.向量组的等价 设有两个向量组 A:a1,a2,…,m及B:B1,B2,…,B 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则 称向量组瑞由向量组A线性表示若向量组A与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价 向量组之间的等价关系具有下述性质: (1)反身性A与A等价; (2)对称性若A与B等价,则B与A等价; (3)传递性若A与B等价,B与C等价,则A与C等价。 这里A,B,C为三个向量组
. : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A m B s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A 5. 向量组的等价 向量组之间的等价关系具有下述性质： （1） 反身性 A与A等价； （2） 对称性 若A与B等价，则B与A等价； （3） 传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。 这里A，B，C为三个向量组
例1证明ax1=(1,2),a2=(2,3)与c1=(,0)E2=(0) 等价。 证明显然1=E1+2E2 O2=2E1+3E 所以,a2可由61,E2线性表示。由上式容易解得 E1=-301+2a 2=2a1-a2 所以,E2也可由1,a2线性表示。因此它们等 价
例1 证明 等价。 (1 2) (2 3) (10) (01) 1 = ，，2 = ，与1 = ， 2 = ， 证明 显然 2 1 2 1 1 2 2 3 2 = + = + 所以 1 ，2 可由 1 ， 2 线性表示。 2 1 2 1 1 2 2 3 2 = − = − + 所以 也可由 线性表示。因此它们等 价。 1 2 ， 1 ，2 由上式容易解得
例2已知a1=(1,,a2=(1,0,-1),B=(-1,-3,-5) 将用1,a2线性表示 解设尸=xa1+xa2即 (-1,-3,-5)=x(1,1)+x2(,0,-1) =(x1+x2,x,x1-x2) +x2=-1 所以x1=-3解得x=-3,x2=2 5 所以B=-3a1+2a2
例2 已知 将用1，2线性表示。 (111) (1 0 1) ( 1 3 5) 1 = ，，， 2 = ，，− ， = − ，− ，− 解 设 即 1 1 2 2 = x + x ( ) ( 1 3 5) (111) (1 0 1) 1 2 1 1 2 1 2 x x x x x x x = + − − − − = + − ， ， ， ， ，， ，， 所以 − = − = − + = − 5 3 1 1 2 1 1 2 x x x x x 解得 x1 = −3，x2 = 2 所以 = -31+22