第3章集合的基本概念和运算 定理3.1.1空集是任意集合的子集,即对任何集 合A,cA。 证明因x∈⑧恒假,故yx(x∈λx∈A)恒真, 即⑧≤A恒真 推论空集是唯一的。 证明设有空集122 据定理3.1.1,应有 ⑧1s和1c2,从而由定义312知=④2
第3章 集合的基本概念和运算 定理3.1.1 空集是任意集合的子集， 即对任何集 合A， A。 证明 因x∈ 恒假， x(x∈ →x∈A)恒真， A恒真。 推论 空集是唯一的。 证明 设有空集 , 。 据定理3.1.1， 应有 和 ， 从而由定义3.1.2知 = 。 1 2 , 1 2 1 2 1 2
第3章集合的基本概念和运算 由推论可知,空集无论以什么形式出现,它们都 是相等的,所以 C={}={x≠x}={xx∈R∧x2+1=0}={xP(x)∧ P(x)},P(x)是任意谓词
第3章 集合的基本概念和运算 由推论可知， 空集无论以什么形式出现， 它们都 是相等的， 所以 ＝{}＝{x|x≠x}={x|x∈ R ∧x 2+1=0}={x|P(x)∧ P(x)}， P(x)是任意谓词.
第3章集合的基本概念和运算 定义3.1.5在一定范围中,如果所有集合均为某 集合的子集,则称某集合为全集,常记为E,即 yx(x∈E)为真,因此 E={xp(x)∨-P(x)},P(x)是任意谓词 因为只要求全集包含我们讨论的所有集合,具有 相对性,所以根据讨论的问题不同,可以有不同的全 集,即全集不是唯一的。但是为了方便起见,在以后 的讨论中我们总是假定有一个足够大的集合作为全集 E,至于全集E是什么,我们有时不关心
第3章 集合的基本概念和运算 定义3.1.5 在一定范围中， 如果所有集合均为某一 集合的子集， 则称某集合为全集， 常记为E ， x(x∈E )为真， 因此 E ＝{x|p(x)∨ P(x)} ， P(x)是任意谓词 因为只要求全集包含我们讨论的所有集合， 具有 相对性， 所以根据讨论的问题不同， 可以有不同的全 集， 即全集不是唯一的。 但是为了方便起见， 在以后 的讨论中我们总是假定有一个足够大的集合作为全集 E ， 至于全集E 是什么， 我们有时不关心。
第3章集合的基本概念和运算 定理3.12设A为一有限集合,4|=mn,那么4的子 集个数为2n 证明:设A含不同元素个数的子集分别为:没有元素的子集 计Cn个(C=1),恰含A中一个元素的子集计C个,恰含 A中一个元素的子集计Cn个,恰含A中一个元素的子集计Cn 个。因此A的子集个数为 C0+C+…Cn=(1+1)”=2”(二项式定理) 设集合A={1,,{1,3},则A有23=8个子集,分别为 1},},{1,3},{1,妒},{1,{1,3},{,{1,3} {1,3}
第3章 集合的基本概念和运算 定理 3.1.2 设A为一有限集合， |A|=n， 那么A的子 集个数为2 n 。 证明：设A含不同元素个数的子集分别为：没有元素的子集 计 个（ =1），恰含A中一个元素的子集计 个，恰含 A中一个元素的子集计 个 恰含A中一个元素的子集计 个。因此 A的子集个数为 + + + = （二项式定理） 设集合A={1， ，{1，3}}，则A有 个子集，分别为： ， {1}，{ }，{{1，3}}，{1， }，{1，{1，3}}，{ ，{1，3}} {1， ，{1，3} }。 0 Cn 0 Cn 1 Cn 2 Cn n Cn 0 Cn 1 Cn n Cn n n (1+1) = 2 2 8 3 =
第3章集合的基本概念和运算 定义3.1.6给定集合A,由A的所有子集为元素构成的 集合,称为集合A的幂集,记作P(4),即 P(4)={x≤A}。由于⑧A,A∈A,故必有g∈P(4) A∈P(A) 例如 A=,P(A)={} A={a},P(A)={g,{a} A={a,b},P(A)={,{a},{b},{a,b}} 显然,幂集元素的个数与集合A的元素个数有关,且 当集合A的基数为时,A有2n个子集,因此|P(A)2n
第3章 集合的基本概念和运算 定义3.1.6 给定集合A， 由A的所有子集为元素构成的 集合， 称为集合A的幂集， 记作P(A)， 即 P(A)＝｛x|x A｝。 A, A A， ∈P(A), A∈P(A)。 例如： A= , P(A)={ } A={a}, P(A)={ , {a}} A={a, b}, P(A)={ , {a}, {b}, {a, b}} 显然， 幂集元素的个数与集合A的元素个数有关， 且 当集合A的基数为n时， A有2 n个子集， 因此 |P(A)|=2 n 。