练习9-1 1.设有平面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄 板上分布有密度为=(x,y)的电荷,且(x,y)在D上连续,试用二重 积分表达该板上全部电荷Q 2.设h1=∫(x+y)do,其中D=(x,y)1s,-2y×2}; l2=∫x2+y2)da,其中D2=(,y)0x≤1,0sy2 试利用二重积分的几何意义说明与h2的关系 3.利用二重积分的定义证明 (jl=a(其中为D的面积 ()j9(c=(xyo(其中k为常数 ()[/(x, y)do=[/(x, vdo+s(x,y)do 其中D=DUD,D1、D2为两个无公共内点的闭区域 根据二重积分的性质,比较下列积分大小 ()jx+y)da与,∫jx+y)da其中积分区域D是由x轴y轴 与直线x+y=1所围成; (2)jx+yl与j(+yd其中积分区域D是由圆周 (x-2)+(-1)2=2所围成 3)j(x+y)σ与(x+y)2do其中D是三角形闭区域,三角顶 点分别为(1,0),(1,1),(2,0); (4)1n(x+y)do与[/xya其中D={,y)3xs5.0sy≤1}
练习 9-1
5.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (x+yM,其中D(x,y)0sxs1,0sys1) (2ln2 xsin2ydo,其中D=(x,y)0sxsx0y≤; (37jx+y+,其中D=(,y)0xs1,0y×2) (4)l=(x2+4y2+9)da,其中D=(x,y)x2+y2≤4} 练习9-2 1.计算下列二重积分 ()jx2+yo,其中D=(,1,l (2)j3x+2y)do,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区 域; (jx+3xy+y)d,其中D=(,y)0xs1,0sy≤1); (4co(x+ydo,其中D是顶点分别为(0.0.(xO,和(x2的三 角形闭区域 2.画出积分区域,并计算下列二重积分 (1)「x√ydo,其中D是由两条抛物线y=√x,y=x2所围成的闭区域 (2)xy2d,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; (rd,其中D=(c,y)+s1;
练习 9 - 2 >>
[x2+y2-x)do,其中D是由直线y=2,y=x,及y=2轴所围成的 闭区域 3.如果二重积分f(x,y)dh的被积函数fx,y是两个函数f(x)及f() 的乘积,即f(x,y)=f(x)/(),积分区域D={(x,y)asx≤b,c≤ysd},证明这个 重积分等于两个单积分的乘积,即 ()()d=了(x 4.化二重积分=1(xa为二次积分(分别列出对两个变量先 后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是 (1)由直线=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域 (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0所围成的闭区域; (3)由直线兴x,x=2及双曲线y=1(x>0所围成的闭区域; (4)环形闭区域{(x,y)1sx2+y2≤4} 5.设f(x,y)在D上连续,其中D是由直线y=、y=a及x=b(b>a)围 成的闭区域,证明 广4(xy4/y 6.改换下列二次积分的积分次序: (1)ldyL.f(r,y)dx √=(xyht (5)/ dxl/(x,y)dy
(6=(x,yb(其中a20 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,=x和x轴所围成,它的面密 度为(x,y)=x2+y2,求该薄片的质量 8.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及 2x+3y+z=6截得的立体的体积 9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z0及抛物面x2+y2=62 截得的立体的体积. 10.求由曲面z=x2+2y2及2=6-2x2y2所围成的立体的体积 11画出积分区域,把积分∫(x,h表示为极坐标形式的二次积分 其中积分区域D是 (1){(,y)x2+y2≤a2(a>0) (2){(x,y)x+y2≤2x} (3){(x,y)a2sx2+y≤b},其中0<a<b; (4){(x,y)0y≤1-x,0≤x≤1} 12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分 (1)l dxl f(,y)dy (2)dx[(x2+y2)dy (4) d/'(x,y)dy 练习9-3
练习 9-3
1.化三重积分/=(xyd为三次积分,其中积分区域9分别是 (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域; (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域; (3)由曲面z=x2+2y2及2=2-x2所围成的闭区域 (4)由曲面c=xy(c>0 2=1,2=0所围成的在第一卦限内的闭区域 2.设有一物体,占有空间闭区域g2={(x,y,)0x≤1,0≤y≤1,0×z≤s1}, 在点(x,y,2)处的密度为p(x,y,z)=x+y+z,计算该物体的质量. 3.如果三重积分j/(x,)dh的被积函数/x,y,2)是三个函数f() f(0)()的乘积,即fx,y,z)=fi(x)()f(z),积分区域Ω={(x,y,z)ax≤b,c≤yd, k<z≤sm},证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即 4.计算y2dh,其中是由曲面2=m,与平面y=,x=1和20所 围成的闭区域 5.计算 dh,其中g为平面x=0,y=0,z20,x+y+21所围成的四 (1 +x+v+z 面体 6.计算∫ xyzdxdydz,其中9为球面x+2+21及三个坐标面所围成的在 第一卦限内的闭区域 7.计算门zd,其中9是由平面20,2y=1以及抛物柱面y=2所 围成的闭区域 8.计算hh,其中?是由锥面z=h2+y与平面=AMR,.b0) 所围成的闭区域