第1章财产保险业务1183 注意，在表6-1-48中，平均值不是各年比率的简单平 均值选定的，同时考虑了赔付额和经济环境在未来的变化。 均数。譬如第一个平均值2.2358不是表6-1-48中第一 这一行数据将用于对未来赔付额进行预测。对累积赔付额 列比率的简单算术平均数，而是表6-1-47中第1个延迟年 份所对应的累积赔付额之和与第0个延迟年份所对应的赔 的预测值如表6-1-49所示。譬如，1993年发生的保险事 付额之和的比率，即 故，截至计算日（第4个延迟年末）的累积赔付额为7116千 2350+3190+2960+2768+3150+5314+8628 元，而第5个延迟年份的链梯系数为1.0900，因此在第5个 020+1468+1422+1248+1540+2404+3586 =2.2358 延迟年末的累积赔付额为 7116×1.0900=7756千元 M,可按下式计算： 第6个延迟年份的链梯系数为1.0700，因此在第6个延 M.= (4) 迟年末的累积赔付额为 式中，Cg一C6—一加上第6个延迟年末关于未决赔款的 7116×1.0900×1.0700=8300千元 逐案估计值。 其他计算结果如表6-1-49所示，该表的最后一列是对 表6-1-48中的最后一行比率是根据倒数第二行的平 每个事故发生年所对应的最终赔付额的估计值。 表6-1-49 累积赔付额的预测值 单位：千元 延迟年数 事故发生年 0 1 2 6 7+ 1991 1468 3190 4520 5182 5676 6142 6558 7214 1992 1422 2960 4278 5718 6694 7318 7830 8614 1993 1248 2768 4110 5778 7116 八 7756 8300 9130 1994 1540 3150 5284 7502 9002 9812 10500 11550 1995 2404 5314 8654 12116 14538 15848 16956 18652 1996 3586 8634 14074 19702 23644 25772 27576 30332 1997 4680 10484 17088 23922 28708 31290 33428 36830 未决赔款可以根据每个事故发生年的最终赔付额的估 在第3个延迟年份的赔付额为23922-17088=6834千元。 计值（表6-1-49的最后一列），减去截至计算日的累积已 从计算日起以后各个延迟年份的赔付额分别为 决赔款表(6-1-49每行虚线左边的一个数)进行估计。计 C(M.1-1) (5) 算结果如表6-1-50所示。 C(M2-1)M+ (6) 表6-1-50 未决赔款的估计值 单位：千元 与(3)式相对应，考虑货币时间价值的未决赔款为 事故发生年 最终赔付额的估计值 已决黯款 未决赔款 GCMG) 1991 7214 6558 656 式中，一折现系数，当利率为i时，=1/(1+i)。 1992 8614 7318 1296 在公式(3)中，第一部分是次年赔付额的折现值。由于 1993 9130 7116 2014 假设赔付额是在年中支出的，因此折现期为0.5年。可以看 1994 11550 7502 4048 出，在考虑货币时间价值的情况下，未决赔款是由下述因素 1995 18652 8654 9998 1996 30332 8634 21698 决定的： 1997 36830 4680 32150 (1)截至计算日的累积赔付额： 合计 122322 50462 71860 (2)累积赔付额比率： (3)折现系数。 从表6-1-50可以看出，1991年到1997年发生的保险 在实际应用中，通常并不采用(3)式计算未决赔款。如 事故，截至1997年末，未决赔款的估计值为71860千元。 前所述，可以首先计算表6-1-50的累积赔付额，然后用相 考虑货币时间价值的链梯模型(Chain Ladder Model Con- 邻两个累积赔付额相减即得每个延迟年份未折现的赔付额。 sidering Currency Time Value)运用公式(3)可以直接估计 再将每个延迟年份的赔付额折现，即可得到折现后的未决赔 出每个事故发生年截至计算日的未决赔款责任，但这个未决 款。在折现时可以假设每年的赔付额是在年中支出的。 赔款责任是从计算日起所有延迟年份所对应的一个总数，在 表6-1-51是经折现后的赔付额，年利率为12%。譬 考虑未来投资收益的情况下，就有必要把它分解成各个延迟如1997年发生的保险事故，在第4个延迟年份（即2001年） 年份所分别对应的未决赔款责任。这只要用表6-1-49中赔付额为28708-23922=4786（千元） 相邻两个累积赔付额相减即可。如1997年发生的保险事故， 按12%的年利率计算，该赔付额在1997年末的现值（折 延迟至第二年末时的累积赔付额是17088千元，延迟至第3 现期为3.5年)为 年末时的累积赔付额是23922千元。这两个数相减，即可得
1184 第六篇保险实务定量分析 03218(千元 费者价格指数等。假设过去的通货膨胀率如表6-1-52所 示，经过通货膨胀调整以后，按1997年的价格表示的赔付额数 在本例中，我们假设在第6个延迟年份以后的赔付额都 据如表6-1-53所示。表6-1-54是相应的累积赔付数据。 是在第7个延迟年份支出的，这也就意味着逐案估计值已经 表6-1-53 经通货膨胀调整的赔付额 单位：千元 考虑了折扣因素。 事故 延迟年数 表6-1-51 未来赔付额的折现值 单位：千元 发生年 0 34 5 67+ 事故 延迟年数 1984 346536 发生年 2 5 7合计 1985 440 368 644 1991 620620 1986 608 482 308 488 1992 484 6601144 1987 1174644 380 440 652 1993 606 458 6261690 1988 14961306618484 222 490 1994 14186845187063326 1989 248815441250666 296 418 638 1995 32702044986 74610188064 1990 2056239414681210554 416 368 450 1996 51404750296814321084147816852 1991 264227701872818570 504 416 680 1997 548455725148321815521174160223750 1992 22862168163016641054 624 合计 1993 17601880155018021338 55446 1994 1904186023042218 表6-1-51表明，从1991至1997年发生的保险事故， 1995 277831423340 38725048 其未决赔款在1997年末的现值为55446千元。而未经折现 1996 1997 4680 的未决赔款为71860千元。 考虑通货膨胀的链梯模型(Chain Ladder Model Consider-. 表6-1 经通货膨胀调整的累积赔付额 单位：千元 ing Inflation Value)如果在计算累积赔付额比率时所使用的 事故 延迟年数 赔付额包含通货膨胀因素，那么过去的通货膨胀因素将包含 发生年 1 3 67+ 在该比率中。 1990 20564450591871287682809884668916 为了把过去的赔付额调整为按现价表示的金额，就必须 1991 264254127284810286729176959210272 1992 228644546084774888029426 已知过去的通货膨胀率。 1993 17603640519069928330 将(7)式经简单调整即得： 1994 1904376460688286 R=C(M1-1)(1+fDma5+ 1995 277859209260 1996 38728920 2n-+n"wM,}8 1997 4680 式中，C,一按最近一个延迟年份的现价表示的累积赔 如果进一步假设未来的通货膨胀率为14%，投资收益率 付额： 为12%，则很容易根据表6-1-53和表6-1-54的数据求 一未来的年通货膨胀率。 出未决赔款责任的估计值。 (8)式看似复杂，但应用起来如同(7)式一样简单。从 (8)式可以看出，在考虑通货膨胀的情况下，未决赔款是由下 平均赔付额模型(Payments Per Claim Incurred,PP- 述因素决定的： cI) (1)按现价表示的累积赔付额： 平均赔付额是赔付额与索赔次数的比率。索赔次数统 (2)累积赔付额比率： 计可以有不同的口径，如果索赔次数是指已经发生的索赔 (3)折现系数： (包括已发生但尚未报告的索赔)，那么相应的平均赔付额被 (4)过去和未来的通货膨胀率。 称作已发生索赔的平均赔付额：如果索赔次数是指已经结案 的索赔，那么相应的平均赔付额被称作已结案索赔的平均赔 表6-1-52 通货膨胀率 付额。在链梯模型中，我们假设不同延迟年份的赔付额之间 财政年度 年通货膨胀率(%) 具有相对稳定的比例关系。而平均赔付额模型中，我们假设 1990/1991 12.0 不同事故发生年的平均赔付额是相对稳定的。 1991/1992 12.0 基本PPCI模型(Basic PPCI Model)对每年发生的索 1992/1993 14.0 1993/1994 14.0 赔，令A'(t)是在时间t的赔付速率。如果用R·(t)表示 1994/1995 7.0 在时间：及其以后发生的赔付额，那么： 1995/1996 7.0 1996/1997 8.0 R"(t)=A"(u)du (1) 过去的通货膨胀率可以采用已经公布的有关指数，如消 这是未经折现的未决赔款责任。未经折现的已发生索
第1章财产保险业务1185 赔的总赔付额C·为 由此可见，在考虑通货膨胀和货币时间价值的情况下， 确定未决赔款的决定性因素包括： C=R'(0)=A(u)du (2) (1)每年发生的索赔次数N: 平均赔付额℃·为 (2)按最近一个赔付年度的价格表示的平均赔付额C: x=9 (3) (3)每个延迟年份的赔付比率V: (4)未来的通贷膨胀率f: 式中，W—已经发生的索赔次数。 (5)折现系数"。 如果令V(t)是在时间t的相对赔付速率，即 未来的通货膨胀率通常被分解为两部分，一部分是由于 ()=A2 (4) 经济因素所导致的通货膨胀率，即我们通常所说的通货膨胀 C 则有 率：另一部分是所谓的附加膨胀率。附加膨胀是指未来赔付额 的膨胀速度快于经济的膨胀速度，其通常的表现形式是索赔次 V(u)du =1 (5) 数增加、赔付期限延长、司法过程更加偏向于被保险人等。 将(4)式和(3)式分别代入(1)式，即得 PPCF模型(PPCF Model)PPCF是指已结案索赔的平 均赔付额。从基本原理上看，PPCF模型与PPCI模型是相同 R'(t)=N.C·V'(u)du (6) 的。它与PPCI模型的主要区别是，在PPCF模型中，还需要 预测每个延迟年份已结案的索赔次数。当保险公司的赔付 这就是基本的PPCI模型，在此模型中，决定性因素 额不是分次支付，而是一次性支付时，PPC℉模型是很适用 包括： 的。但是，如果由于其他种种原因，某些索赔在支付完最后 (1)每年发生的索赔次数N。 (2)平均赔付额C”。 一次赔款时没有结案，而是后来才匆匆结案，那么这种情况 (3)相对赔付速率'(u)。 下的已结案索赔次数就很不稳定。PPC℉模型的一种变形是 考虑通货膨胀和货币时间价值的PPCI模型(PPCI Model 采用保险公司已经理赔结束的索赔次数。PPCF模型的另一 Considering Inflation and Currency Value）基本的PPCI模型 种变形是采用保险公司已经受理的索赔次数。在分期赔付 较多的情况下，这种变形比较适用。 忽略了通货膨胀因素和货币的时间价值。PPCI模型则引入 了这两个因素，首先考虑通货膨胀因素。用F(t)表示通货 与(14)式相对应，应用PPCF模型的公式可表示为 膨胀指数，令 (16) A()=4“() B=kmC（1+n F(1) (7) 式中，N,一每个事故发生年发生的索赔次数： K一在每个延迟年份已结案的索赔次数所占的比重： R(t)=A'(u)F(u)du (8) C一每个事故发生年已结案索赔的平均赔付额： ∫一未来赔付额的膨胀率。 C=R(0)=[A(u)F(u)du (9 如果考虑货币的时间价值，则有 t=号 R.=∑NK4C(1+D.a (17) (10) 应用PPCF模型的第一步是估计在每个事故发生年发生 a=42 (11) 的索赔次数。如同PPCI模型一样，这里仍然可以采用链梯 因此，与(6)式相对应，有 模型进行估计。 第二步是确定在每个延迟年份已经结案的索赔次数。 R(t)=N.C.V(u).F(u)du (12) 在每个延迟年末，尚未结案的索赔次数如表6-1-55所示。 在实际应用中，通常并不采用上述的积分公式，而是求 表6-1-55 年末尚未结案的索赔次数 若干个离散区间（各个延迟年份）的和。如果假设未来的通 事故 延迟年数 货膨胀率为∫，并选择最近一个延迟年份的中点作为通货膨 发生年 0 1234567+ 胀调整的基点，用1表示最近一个延迟年份的年末，那么 1990 2260105059041034525513570 F(t+k-0.5)=(1+f) (13) 1991 267099059049034514595 继续用下标1表示事故发生年，则 1992 31901430875640385220 Ru=N.v(1+ 1993 33551200685300160 (14) 1994 2230915505270 如果将未来的投资收益考虑在内，则 1995 43751490890 1996 41852305 R=∑NCt(1+a5 (15) 1997 4835
1186第六篇保险实务定量分析 逐案估计预测法(Case by Case Estimate Forecast 如果不考虑货币的时间价值，则第i年发生的保险事故 Method) 在第：个延迟年份末的未决赔款估计值为 对那些短尾业务以及历史赔付数据不太充足的年份，可 w=u-n{o0+2[ic-oe]oo} 以采用逐案估计预测法，用逐案估计值和历史赔付额数据作 为预测未来赔付额的基础。逐案估计预测法也可用于分析 如果考虑货币的时间价值，则有 逐案估计值比较稳定的短尾业务。 Ro=-{ow+aIic-oa]o}o 从某些方面来看逐案估计预测法类似于链梯模型，只是 预算IBNR方法(BNR Budget Method) 更加强调未来赔付额与逐案估计值的相互关系。应用逐案 链梯模型或平均赔付额模型等都假设索赔数据具有统 估计预测法必须对逐案估计比率(T)和已决赔款比率(Q)进 计上的稳定性，且较为充足，但是当索赔数据缺乏时，上述方 行估计，它们通常是根据历史赔付额数据估计的。 法将不便使用。 第i年发生的保险事故在第1个延迟年份的逐案估计比 率(T)和已决赔款比率(Q)分别为 1972年，Bornhuetter和Ferguson解决了统计数据不充足 时关于未决赔款的估计问题。这种方法被称作预算BNR方 T(t)= P(t)+E,(t) t=1,2,… (1) E,(t-1) 法。除非有特别说明，BNR通常包括已经发生但尚未报告 P() 的索赔和已经发生但尚未完全报告的索赔。 Q(0)=E,(t-10 (2) 譬如，假设在事故发生的当年，保险公司没有接到索赔 式中，T,(t)一第i年发生的保险事故在第t个延迟年份的 报告，但保费是按照85%的期望赔付率计算的，那么可以将 逐案估计比率： IBNR的估计值确定为已收保费的85%。虽然85%并不意味 Q,(t)一第i年发生的保险事故在第t个延迟年份的 着是充足的，但至少可以保证保险公司所提取的责任准备金 已决赔款比率； 不至于过低。如果我们期望在第1个延迟年末将有20%的 P,(t)—第i年发生的保险事故在第t个延迟年份的 索赔向保险公司报案，那么此时的BNR估计值将是已收保 赔付额： 费的68%，即85%×(1-20%）=68%。 E,(t)一第i年发生的保险事故在第t个延迟年份末 估计BNR的模型可表示为 的逐案估计值。 lg=P:×r×F (1) 由此可见，逐案估计比率是指，当年已决赔款P,(t)与年 式中，，一第i年发生的保险事故在第j个延迟年末的B 末未决赔款E,(t)之和与年初的未决赔款E,(t-1)之比。已 NR估计值： 决赔款比率是指，在年初的未决赔款估计值（即逐案估计值） P—第i个事故发生年收取的保险费： E,(t-1)中，当年已决赔款P(t)所占的比重。 一第i个事故发生年的预计赔付率： 逐案估计比率为1表明，年初的逐案估计值E,(t-1)足 F一第j个延迟年份的BNR系数，表示为总赔付额 以应付当年的赔付支出P,(t)和年末的未决赔款E,(t)。逐 的一个百分数。 案估计比率小于1表明，年初的逐案估计值多于必要值：逐案 如果不考虑货币的时间价值，则总的未决赔款责任是逐 估计比率大于1表明，年初的逐案估计值不足。 案估计值与BNR估计值之和。 一般而言，最初几个延迟年份的逐案估计比率可能要大 IBNR系数(BNR Index) 于以后延迟年份的逐案估计比率，这是由于在最初几个延迟 IBNR系数通常是应用链梯模型确定的表6-1-56所展 年份，尚未报告的事故次数较多，可用信息相对较少所造成 示的是其计算过程。在表中，每个累积赔付额数据中，既包 的。它已经包含在所选定的逐案估计比率当中。 含保险公司已经支付的赔款，也包含已报告但尚未支付的赔 对每个事故发生年i,在第t个延迟年份末的逐案估计值 款（即逐案估计值），如1992年发生的保险事故，在第5个延 可用下式递推计算 迟年末已报告索赔的累积赔付额是1900千元，而从表6-1 E(t)=E,(t-1)×[T(t)-Q(t)] (3) -56可知，截至第5个延迟年末实际已经支付的累积赔付额 在未来第：个延迟年份的赔付额可用下式计算： 是810千元，因此截至第5个延迟年末已报告，但尚未支付的 P(t)=E(t-1)×Q(t) (4) 赔款（即逐案估计值）是1900-810=1090千元。其他事故 式中，T(t)一第t个延迟年份选定的逐案估计比率： 发生年截至计算日的逐案估计值如表6-1-57第6列所示。 Q(t)一第t个延迟年份选定的已决赔款比率。 表6-1-56 已报告索赔的累积赔付额 单位：千元 延迟年数 事故发生年 0 3 6 1 8 9 1988 0 0 890 1030 1485 2175 2445 2230 2260 2321 1989 0 0 460 1310 1700 1960 2525 2445 2345
第1章财产保险业务1187 续表 延迟年数 事故发生年 0 1 2 0 4 5 6 8 9 1990 0 300 300 635 1580 2075 2075 2415 1991 0 0 670 1565 1920 1950 2045 1992 0 940 940 1645 1655 1900 1993 0 0 530 2250 2715 1994 0 0 625 875 1995 0 0 250 1996 0 600 1997 0 根据表6-1-56计算的链梯系数如表6-1-57所示，计算方法与基本链梯模型中的计算方法相同。 表6-1-57 链梯系数：已报告索赔的累积赔付额比率 事故 延迟年数 发生年 1:0 2:1 3:2 4:3 5:4 6:5 7:68:7 9:8 10+:9 1988 1.16 1.44 1.46 1.12 0.91 1.01 1.03 1989 2.85 1.30 L.15 1.29 0.97 0.96 1990 1.00 2.12 2.49 1.31 1.00 1.16 1991 2.34 1.23 1.02 1.05 1992 1.00 1.75 1.01 1.15 1993 4.25 1.21 1994 1.40 1995 1996 平均值 3.76 2.11 1.31 1.21 L.11 1.01 0.99 1.03 选定值 3.75 2.10 1.30 1.20 1.07 1.05 1.03 1.02 1.05 累积值 15.23 4.06 1.93 1.49 1.24 1.16 1.10 1.07 1.05 IBNR系统 100% 93% 75% 48% 33% 19% 14% 9% 7% 5% 从表6-1-57可以看出： 为合理的值。 (1)链梯系数具有很大的变异性 1.平衡法。假设未来的赔付率将近似于计算保费时所 (2)当逐案估计值减小时，链梯系数可能小于1： 期望的赔付率。在具体应用时，可以在已赚保费的基本上加 (3)由于在事故发生年，保险公司没有接到索赔报告，所 上投资收益，再适当减去一些必要的费用和利润，即可得到 以“1：0”列没有相应的链梯系数。 期望的赔付额。期望赔付额与已赚保费相比，即可得到期望 在表6-1-57中，链梯系数的选定值是目测估计的，大 的赔付率。对于新险种而言，这种方法是比较适用的。 致是一条经过平均值的平滑曲线。由于BNR系数对链梯系 2.预测法。通过BNR系数，将已经发生的赔付额调整 数的变化不太敏感，所以，链梯系数的选定值可以不必十分 为总赔付额后，再计算相应的赔付率。它等同于用链梯模型 精确。链梯系数的累积值是根据选定值计算的，壁如“10+ 确定的赔付率。用此方法确定的赔付率在各个延迟年份之 9”列的选定值和累积值均为1.05，“9：8”列的累积值为 间的差异很大，对延迟年份可能不太适用。 1.05×1.02=1.07:“8:7”列的累积值为1.07×1.03= 3.价格指数法。需要对不同年份的价格进行比较。其 1.10:“7:6”列的累积值为1.10×1.05=1.16：等等。 基本思想是，虽然期望赔付过程应该呈现出一种比较平滑的 BNR系数是根据链梯系数的累积值计算的： 趋势，但价格在不同年份确实有可能存在很大波动。譬如 当保险费率翻一番时，如果其他条件保持不变，设定赔付率 =1克 (1) 应该降低一半。这种方法尤其适用于最近几年发生的保险 式中，F—BNR系数： 事故。 X一相应的链梯系数的累积值。 表6-1-58给出了设定赔付率的计算过程。譬如，对于 1993年发生的保险事故，截至计算日已报告索赔的累积赔付 额是2715千元，应用BNR系数可以估计出总赔付额为 赔付率设定方法(Indemnity Rate Setting Method) 通常分别使用下述三种方法计算，然后从中选出一个最 24m(千元)