运算的函数定义 函数f:An→B称为（从A到B的）n元运算 以下主要讨论二元运算 例如：利用普通四则运算定义实数集上的一 个新运算“*”： X*y=x+y一Xy 则：2*3=-1；0.5*0.7=0.85 有限集合上的m元运算的个数是确定的 运算的定义 6
运算的函数定义 函数𝑓: 𝐴 𝑛 → 𝐵称为(从𝐴到𝐵的) 𝒏元运算 以下主要讨论二元运算 例如：利用普通四则运算定义实数集上的一 个新运算“∗”： 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒙𝒚 则：2 ∗ 3 = −1；0.5 ∗ 0.7 = 0.85 有限集合上的𝑚元运算的个数是确定的 运算的定义 6
&易 运算表 通常用于定义有限集合（一般元素很少）上的一 元或二元运算（如在集合{a,b,c,d}上定义如下的运算） a a M b & M 7 运算的定义
运 算 表 通常用于定义有限集合(一般元素很少)上的一 元或二元运算 (如在集合{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}上定义如下的运算∗) * a b c d a 1 M b & 6 K M c 7 6 Q 0 d G # ~ 运算的定义 7
运算的封闭性 对于运算f:An→B,若B≤A,则称该运算在集合 A上封闭(closeness) 例： 加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭 减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭 对集合A={1,2,3,…,10},gcd运算封闭，lcm则否 运算的定义 8
运算的封闭性 对于运算𝑓: 𝐴 𝑛 → 𝐵 ，若𝑩 ⊆ 𝑨，则称该运算在集合 𝐴上封闭（closeness） 例： 加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭 减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭 对集合𝐴 = {1,2,3, ⋯ , 10}，gcd运算封闭，lcm则否 运算的定义 8
&易 证明运算封闭的例子 普通加法在正整数集之子集A={n921n} 上封闭 证明： o设x,y是A中任意元素，存在p,q∈Z+,满足： 21x=9p,21y=9q,则21(x+y)=9(p+q), 由于p+q∈Z+,故921(x+y),即x+y∈A.口 运算的定义 9
证明运算封闭的例子 普通加法在正整数集之子集𝑨 = 𝒏 𝟗|𝟐𝟏𝒏 上封闭 证明： 设𝑥, 𝑦是𝐴中任意元素，存在𝑝, 𝑞 ∈ ℤ +，满足： 21𝑥 = 9𝑝 ，21𝑦 = 9𝑞 ，则21 𝑥 + 𝑦 = 9(𝑝 + 𝑞)， 由于𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ +，故9|21(𝑥 + 𝑦)，即𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴. □ 运算的定义 9
代数系统 定义（代数系统) 。给定1个非空集合（其元素可以是任何对象)； 0 给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1 个二元运算的情况)； 。运算对上述集合封闭. 记法：(S,)》 例子： 。整数集与普通加法：(Z,+)构成代数系统 代数系统 10
代 数 系 统 定义（代数系统）： 给定1个非空集合（其元素可以是任何对象）； 给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1 个二元运算的情况）； 运算对上述集合封闭. 记法： 𝑺, ∘ 例子： 整数集与普通加法： ℤ, + 构成代数系统 代数系统 10