例题1 提升重物系统中,钢丝绳的横截 面积A=2.89×10-4m2,材料的弹性 模量E=200GPa。重物的质量m=6 000kg,以匀速v=0.25ms下降。 当重物下降到/=25m时,钢丝绳 上端突然被卡住。 求:(1)重物的振动规律; (2)钢丝绳承受的最大张力 解:钢丝绳一重物系统可以简化为 弹簧一物块系统,弹簧的刚度为 EA /=2.312×10N/m
例 题 1 m v 提升重物系统中，钢丝绳的横截 面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性 模量E＝200GPa。重物的质量m＝6 000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。 当重物下降到l ＝25m 时，钢丝绳 上端突然被卡住。 l 求：（1）重物的振动规律； （2）钢丝绳承受的最大张力。 解：钢丝绳－重物系统可以简化为 弹簧－物块系统,弹簧的刚度为 2 312 10 N/m 6 = = . l EA k
设钢丝绳被卡住的瞬时t=0, 这时重物的位置为初始平衡位置 ;以重物在铅垂方向的位移x作为 广义坐标,则系统的振动方程为 n元+kx=0 方程的解为 x= Asin(o,t+0) o 19.63s 静平衡位 利用初始条件 x(0)=0,x(O)=w(0)=v 求得O=0 =00127mx=0.0127sin1963t
m k 静平衡位置 O x 设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0， 这时重物的位置为初始平衡位置 ；以重物在铅垂方向的位移x作为 广义坐标，则系统的振动方程为 m x + kx = 0 方程的解为 1 n sin( ) 19.63s − = + = = m k x A t n 利用初始条件 x(0) = 0, x (0) = v(0) = v 求得 0.0127m 0 = = = n v A x = 0.0127sin19.63t
(2)钢丝绳承受的最大张力 取重物为研究对象 k x=0.0127sn19.63t W一F=m=- mAo sin a1静平衡位置mF Fn=W+mAo sin o t Imax maO sm(g+aon 88.2kN
m k 静平衡位置 O x m x W FT （2）钢丝绳承受的最大张力。 取重物为研究对象 F W mA t W F mx mA t T n n T n n sin sin 2 2 = + − = = − 88.2kN ( ) 2 2 max = FT =W + m An = m g + An x = 0.0127sin19.63t
例题2 --------.-t--1----w--t 均质等截面悬臂梁,长度为l, 弯曲刚度为E梁的自由端放置 质量为m的物块。若不计梁的固定端 质量。试写出梁一物块系统的运 动微分方程。 考察梁和物块所组成的 系统。以物块铅垂方向的 位移作为广义坐标q=y,坐 固定端 标原点O设在梁变形后的 平衡位置,这一位置与变 形前的位置之间的距离, 即为物块静载作用下的挠 w mg/ 度,亦即静挠度,用y表 y st 3EI 3EI
l 固定端 均质等截面悬臂梁，长度为 l , 弯曲刚度为EI 。梁的自由端放置 一质量为 m的物块。若不计梁的 质量。试写出梁－物块系统的运 动微分方程。 例 题 2 m EI l 固定端 y s t O y EI mgl EI Wl y 3 3 3 3 st = = 考察梁和物块所组成的 系统。以物块铅垂方向的 位移作为广义坐标q=y , 坐 标原点 O设在梁变形后的 平衡位置，这一位置与变 形前的位置之间的距离， 即为物块静载作用下的挠 度，亦即静挠度，用 yst 表 示
分析物块运动到任意位 o ys 置(坐标为y)时,物块的受 力:应用牛顿第二定律 固定端 my=mg -F 分析物块运动到任意位置(坐 "8标为时,梁的自由端位移与 力之间的关系 F7 F El syst BEI 3EI k(y+ 固定端 BEl k-等效刚度
分析物块运动到任意位 置(坐标为y)时，物块的受 力：应用牛顿第二定律 W=mg F m y = mg − F 分析物块运动到任意位置(坐 标为y)时，梁的自由端位移与 力之间的关系 EI l 固定端 F' EI Fl EI F l y y 3 3 3 3 st = + = ( ) k－等效刚度 l EI k F k y y 3 s t 3 = = + y ys t m EI l 固定端 O y