人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程习题(2)

8.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l使l被圆C截得的弦AB 满足:以AB为直径的圆经过原点 能力提升 9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 10.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线:x+y+1=0的距离为2的点有 个 D.4个 1l.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,且∠APB=60°,则动 点P的轨迹方程为 12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条 切线,A、B是切点 (1)求四边形PACB面积的最小值; (2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60°,若存在,求出P点的坐标:若不存在,说明 理由 三、探究与拓展 3.圆C:(x-1)2+(-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R) (1)证明:不论m取什么数,直线l与圆C恒交于两点 (2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求此时m的值

8．已知圆 C：x 2＋y 2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦 AB 满足：以 AB 为直径的圆经过原点． 二、能力提升 9．由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3) 2＋y 2＝1 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A．1 B．2 2 C. 7 D．3 10．圆 x 2＋y 2＋2x＋4y－3＝0 上到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．由动点 P 向圆 x 2＋y 2＝1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，且∠APB＝60°，则动 点 P 的轨迹方程为__________________． 12．已知 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 C：x 2＋y 2－2x－2y＋1＝0 的两条 切线，A、B 是切点． (1)求四边形 PACB 面积的最小值； (2)直线上是否存在点 P，使∠BPA＝60°，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明 理由． 三、探究与拓展 13．圆 C：(x－1) 2＋(y－2) 2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：不论 m 取什么数，直线 l 与圆 C 恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 m 的值．

答案 1.D2.A3.A4.B 6.(x-3)2+y2=4 7.解设圆心坐标为(3m,m),∵圆C和y轴相切,得圆的半径为3m,∴圆心到直线y x的距离为2团=Em 由半径、弦心距的关系得9m2=7+2m2 m=±1,∴所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9 8.解假设存在且设l为:y=x+m,圆C化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2) 解方程经八=x+m m+1 得AB的中点N的坐标N( 由于以AB为直径的圆过原点,所以N=|OM 又AM=c平=(-(m+y n 所以9-(3+ 解得m=1或m=-4 所以存在直线l,方程为x-y+1=0和x-y-4=0,并可以检验,这时l与圆是相交于 两点的 9.C10.C 11.x2+y2=4 12.解(1)如图,连接PC,由P点在直线3x+4y+8=0上,可设P点坐标为(x,-2一x)

答案 1．D 2．A 3．A 4．B 5．4 6．(x－3) 2＋y 2＝4 7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|，∴圆心到直线 y ＝x 的距离为|2m| 2 ＝ 2|m|. 由半径、弦心距的关系得 9m2＝7＋2m2， ∴m＝±1.∴所求圆 C 的方程为(x－3) 2＋(y－1) 2＝9 或(x＋3) 2＋(y＋1) 2＝9. 8．解 假设存在且设 l 为：y＝x＋m，圆 C 化为(x－1) 2＋(y＋2) 2＝9，圆心 C(1，－2)． 解方程组    y＝x＋m y＋2＝－(x－1) 得 AB 的中点 N 的坐标 N(－ m＋1 2 ， m－1 2 )， 由于以 AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|. 又|AN|＝ |CA| 2－|CN| 2＝ 9－ (m＋3) 2 2 ， |ON|＝ (－ m＋1 2 ) 2＋( m－1 2 ) 2 . 所以 9－ (3＋m) 2 2 ＝    － m＋1 2 2＋   m－1 2 2，解得 m＝1 或 m＝－4. 所以存在直线 l，方程为 x－y＋1＝0 和 x－y－4＝0，并可以检验，这时 l 与圆是相交于 两点的． 9．C 10．C 11．x 2＋y 2＝4 12．解 (1)如图，连接 PC，由 P 点在直线 3x＋4y＋8＝0 上，可设 P 点坐标为(x，－2－ 3 4 x)．

圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 所以S四地形PB=2S△PC=2××P|×C=P 因为4P2=PC12-C42=|PC12-1 所以当PCP最小时,MP最小 因为PCF=(1=x)2+(1+2+4x)2=(x+1)+9 所以当x=一时,|PChm=9 所以4PHmn=√9-1=2√2 即四边形PACB面积的最小值为22 (2)假设直线上存在点P满足题意. 因为∠APB=60°,C1=1 所以PC=2 设P(x,y),则有 (x-1)2+(-1)2=4, 3x+4y+8=0 整理可得25x2+40x+96=0, 所以』=402-4×25×96<0所以这样的点P是不存在的 13.(1)证明∵直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0m∈R) 的交点M(3,1). 又∵M到圆心C(12)的距离为d=√3-1)2+(1-2=5<5, ∴点M(3,1)在圆内,∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点 (2)解∵过点M3,1)的所有弦中,弦心距≤V,弦心距、半弦长和半径r构成直角三 角形,∴当dP=5时,半弦长的平方的最小值为25-5=20 弦长AB的最小值ABmn=45 2m+1 此时,kcM=-,k + ∴⊥CM,、12m+ 2m+1=-1 解得m=-_3 ∵当m=一3时,取到最短弦长为45 422圆与圆的位置关系 、基础过关

圆的方程可化为(x－1) 2＋(y－1) 2＝1， 所以 S 四边形 PACB＝2S△PAC＝2× 1 2 ×|AP|×|AC|＝|AP|. 因为|AP| 2＝|PC| 2－|CA| 2＝|PC| 2－1， 所以当|PC| 2 最小时，|AP|最小． 因为|PC| 2＝(1－x) 2＋(1＋2＋ 3 4 x) 2＝( 5 4 x＋1) 2＋9. 所以当 x＝－ 4 5 时，|PC| 2 min＝9. 所以|AP|min＝ 9－1＝2 2. 即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2. (2)假设直线上存在点 P 满足题意． 因为∠APB＝60°，|AC|＝1， 所以|PC|＝2. 设 P(x，y)，则有    (x－1) 2＋(y－1) 2＝4， 3x＋4y＋8＝0. 整理可得 25x 2＋40x＋96＝0， 所以 Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点 P 是不存在的． 13．(1)证明 ∵直线 l 的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)． ∴l 过    2x＋y－7＝0 x＋y－4＝0 的交点 M(3,1)． 又∵M 到圆心 C(1,2)的距离为 d＝ (3－1) 2＋(1－2) 2＝ 5<5， ∴点 M(3,1)在圆内，∴过点 M(3,1)的直线 l 与圆 C 恒交于两点． (2)解 ∵过点 M(3,1)的所有弦中，弦心距 d≤ 5，弦心距、半弦长和半径 r 构成直角三 角形，∴当 d 2＝5 时，半弦长的平方的最小值为 25－5＝20. ∴弦长 AB 的最小值|AB|min＝4 5. 此时，kCM＝－ 1 2 ，kl＝－ 2m＋1 m＋1 . ∵l⊥CM，∴ 1 2 · 2m＋1 m＋1 ＝－1， 解得 m＝－ 3 4 . ∴当 m＝－ 3 4 时，取到最短弦长为 4 5. 4.2.2 圆与圆的位置关系 一、基础过关

1.已知0<V+1,则两圆x2+y2=p2与(x-1)2+y+12=2的位置关系是 外切 B.相交 C.外离 D.内含 2.若两圆x2+y2-2x+10y+1=0,x2+y2-2x+2y-m=0相交,则m的取值范围是 A.(-2,39) B.(0,81) C.(0,79) D.(-1,79) 3.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( A.2条 条 4条 D.0条 4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是() B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=1 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(+7)2=25或(x-5)2+0y+7)2=9 5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a= 6.集合A={(x,y)x2+y2=4},B={(x,y)(x-3)+(y-4)2=}2},其中P0,若A∩B中有 且仅有一个元素,则r的值是 7.a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2a+a2-3=0 (1)外切:(2)内切 8.点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x +4y+1=0上,求MN的最大值 、能力提升 9.若圆(x-a)2+(y-b)=b2+1始终平分圆(x+1)+(y+1)2=4的周长,则a,b满足的关 系式是 A.a2-2a-2b-3=0 C.a2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0 10.若集合A={(x,yx2+y2≤16},B={(x,y)x2+(y-2)≤a-1}且A∩B=B,则a的取值 范围是 A.a≤1 B.a≥5 1l.若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处 的切线互相垂直,则线段AB的长度是 已知圆Ci:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求 a为何值时,两圆C1、C2: (1)相切:(2)相交:(3)外离:(4)内含 三、探究与拓展 13.已知圆A:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l:y =2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程

1．已知 0<r< 2＋1，则两圆 x 2＋y 2＝r 2 与(x－1) 2＋(y＋1) 2＝2 的位置关系是 ( ) A．外切 B．相交 C．外离 D．内含 2．若两圆 x 2＋y 2－2x＋10y＋1＝0，x 2＋y 2－2x＋2y－m＝0 相交，则 m 的取值范围是( ) A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79) 3．圆 C1：x 2＋y 2＋4x－4y＋7＝0 和圆 C2：x 2＋y 2－4x－10y＋13＝0 的公切线有 ( ) A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．0 条 4．已知半径为 1 的动圆与圆(x－5) 2＋(y＋7) 2＝16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A．(x－5) 2＋(y＋7) 2＝25 B．(x－5) 2＋(y＋7) 2＝17 或(x－5) 2＋(y＋7) 2＝15 C．(x－5) 2＋(y＋7) 2＝9 D．(x－5) 2＋(y＋7) 2＝25 或(x－5) 2＋(y＋7) 2＝9 5．若圆 x 2＋y 2＝4 与圆 x 2＋y 2－2ax＋a 2－1＝0 相内切，则 a＝________. 6．集合 A＝{(x，y)|x 2＋y 2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3) 2＋(y－4) 2＝r 2}，其中 r>0 ，若 A∩B 中有 且仅有一个元素，则 r 的值是__________． 7．a 为何值时，两圆 x 2＋y 2－2ax＋4y＋a 2－5＝0 和 x 2＋y 2＋2x－2ay＋a 2－3＝0. (1)外切；(2)内切． 8．点 M 在圆心为 C1 的方程 x 2＋y 2＋6x－2y＋1＝0 上，点 N 在圆心为 C2 的方程 x 2＋y 2＋2x ＋4y＋1＝0 上，求|MN|的最大值． 二、能力提升 9．若圆(x－a) 2＋(y－b) 2＝b 2＋1 始终平分圆(x＋1) 2＋(y＋1) 2＝4 的周长，则 a，b 满足的关 系式是 ( ) A．a 2－2a－2b－3＝0 B．a 2＋2a＋2b＋5＝0 C．a 2＋2b 2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a 2＋2b 2＋2a＋2b＋1＝0 10．若集合 A＝{(x，y)|x 2＋y 2≤16}，B＝{(x，y)|x 2＋(y－2) 2≤a－1}且 A∩B＝B，则 a 的取值 范围是 ( ) A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5 11．若⊙O：x 2＋y 2＝5 与⊙O1：(x－m) 2＋y 2＝20(m∈R)相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处 的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是__________． 12．已知圆 C1：x 2＋y 2－2ax－2y＋a 2－15＝0，圆 C2：x 2＋y 2－4ax－2y＋4a 2＝0(a>0)．试求 a 为何值时，两圆 C1、C2： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 三、探究与拓展 13．已知圆 A：x 2＋y 2＋2x＋2y－2＝0，若圆 B 平分圆 A 的周长，且圆 B 的圆心在直线 l：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆 B 的方程．