第六章参数估计 第26页 例62.2设x,x2,…,x是来自均匀总体U(0,0)的 样本,证明O的极大似然估计是相合估计。 证明:在例6.1.7中我们已经给出的极大似然估 计是xm?由次序统计量的分布,我们知道xo 的分布密度函数为p)=my1,y<故有 E0= ny dv/6 6→) n+1 E02= nm"ldy/0"=-n-02 n+2 n Var(8) 2 2→0 n+2 n+1 由定理621可知,x是0的相合估计。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第26页 例6.2.2 设 x1 , x2 , …, xn 是来自均匀总体U(0, )的 样本，证明 的极大似然估计是相合估计。 证明：在例6.1.7中我们已经给出 的极大似然估 计是 x(n)。由次序统计量的分布，我们知道 x(n) 的分布密度函数为 p(y)=nyn-1 / n , y <, 故有 由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。 0 2 1 2 0 2 2 2 2 ˆ d / 1 ˆ d / 2 Var( ) 0, ˆ 2 1 ( 1) ( 2) n n n n n E ny y n n E ny y n n n n n n n n + = = → + = = + = − = → + + + +
第六章参数估计 第2项页 由大数定律及定理622,我们可以看到 矩估计一般都具有相合性。比如 >样本均值是总体均值的相合估计 样本标准差是总体标准差的相合估计 >样本变异系数是总体变异系数的相合估计。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第27页 由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如： ➢ 样本均值是总体均值的相合估计； ➢ 样本标准差是总体标准差的相合估计； ➢ 样本变异系数是总体变异系数的相合估计
第六章参数估计 第28页 622无偏性 定义622设6=0(x是的一个估计, 0的参数空间为θ,若对任意的θ∈e,有 E(6)=6 则称曩θ的无偏估让,否则称为有偏估让。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第28页 6.2.2 无偏性 定义6.2.2 设 是 的一个估计， 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有 则称 是 的无偏估计，否则称为有偏估计。 1 ˆ ˆ ( , , ) n = x x ˆ E( ) = ˆ
第六章参数估计 第29页 例624对任一总体而言,样本均值是总体均值的无 偏估计。当总体矩存在时,样本原点矩a是 总体6阶原点矩的无偏估计。但对中心矩则不 样,譬如,由于B(s2)="样本方差s不是总体方 差a的无偏估计,对此,有如下两点说明: (1)当样本量趋于无穷时,有E(s-)→σ2, 我们称2为a的渐近无偏估计 (2)若对s作如下修正 ns n-1n-17 则s是总体方差的无偏估计。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第29页 例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无 偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是 总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一 样，譬如，由于 ，样本方差s* 2不是总体方 差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s * 2 ) → 2 ， 我们称 s* 2 为 2的渐近无偏估计。 (2) 若对s* 2作如下修正： ， 则 s 2 是总体方差的无偏估计。 2 2 * 1 ( ) n E s n − = 2 2 2 1 * 1 ( ) 1 1 n i i ns s x x n n = = = − − −
第六章参数估计 第30页 例625设总体为N,a2),x,x,…,x是样本 则s是σ的无偏估计,且可求出 Es= 2I(n/2) n-1r(n-1)/2) 这说明s不是σ的无偏估让 利用修正技术可得cs是σ的无偏估让,其中 是修偏系数 可以证明,当n→>o时,有cn→)1 这说明s是a的渐近无偏估计。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第30页 例6.2.5 设总体为N( , 2 )，x1 , x2 ,…, xn是样本， 则s 2是 2的无偏估计，且可求出 这说明 s 不是 的无偏估计. 利用修正技术可得 cn s 是 的无偏估计，其中 是修偏系数. 可以证明，当n→时, 有cn→1. 这说明 s 是 的渐近无偏估计。 2 ( / 2) 1 (( 1) / 2) n n Es n n c = − − 1 (( 1) / 2) 2 ( / 2) n n n c n − − =