第六章参数估计 第11页 例61.6设一个试验有三种可能结果,其发生概率 分别为p1=02,P2=2(1-0),P2=(1-0) 现做了n次试验,观测到三种结果发生的次数分别 为n,n2,n3(mn+n2+n3=n),则似然函数为 L(0)=(0)[26(1-0)[(1-) 2""(1-0)" 其对数似然函数为 inL(6)=(2n1+n2)ln+(2n2+n2)n(1-6)+n2n2 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第11页 例6.1.6 设一个试验有三种可能结果，其发生概率 分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别 为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为 其对数似然函数为 2 2 1 2 3 p p p = = − = − , 2 (1 ), (1 ) 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [2 (1 )] [(1 ) ] 2 (1 ) n n n n n n n n L + + = − − = − 1 2 3 2 2 ln ( ) (2 ) ln (2 ) ln(1 ) ln 2 L n n n n n = + + + − +
第六章参数估计 第12页 将之关于求导,并令其为0得到似然方程 2n.+n.2n.+n 6 1-6 解之,得 2n1+n2 2n,+n 2(mn1+m2+n3)2n 由于 a l(e) 2n, +n, 2n,+n a8 02(1-0 所以禔极大值点 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第12页 将之关于 求导，并令其为0得到似然方程 解之，得 由于 所以 ˆ 是极大值点。 1 2 3 2 2 2 0 1 n n n n + + − = − 1 2 1 2 1 2 3 2 2 ˆ 2( ) 2 n n n n n n n n + + = = + + 2 1 2 3 2 2 2 2 ln ( ) 2 2 0 (1 ) L n n n n + + = − − −
第六章参数估计 第13页 例61.7对正态总体2),0=(xa2)是二维参 数,设有样本x,x ,则似然函数及其 对数分别为 L(u,o)=I x;- exp a√2mo 20)p+,∑(x- In L(u, 0) ∑(x1-p)2-nn 20 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第13页 例6.1.7 对正态总体N(, 2 )，θ=(, 2 )是二维参 数，设有样本 x1 , x2 ,…, xn，则似然函数及其 对数分别为 2 2 2 1 2 / 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( , ) exp 2 2 1 (2 ) exp ( ) 2 1 ln ( , ) ( ) ln ln(2 ) 2 2 2 n i i n n i i n i i x L x n n L x = − = = − = − = − − = − − − −
第六章参数估计 第14页 将hnL(a2)分别关于两个分量求偏导并令其 为0,即得到似然方程组 nL(2a2)1 ∑(60 lnL(102)1 ∑ 0(6.1.10 00 O 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第14页 将 lnL(, 2 ) 分别关于两个分量求偏导并令其 为0, 即得到似然方程组 (6.1.9) (6.1.10) 2 2 1 ln ( , ) 1 ( ) 0 n i i L x = = − = 2 2 2 4 2 1 ln ( , ) 1 ( ) 0 2 2 n i i L n x = = − − =
第六章参数估计 第15页 解此方程组,由(619)可得A的极大似然估计为 ∑x=x 将之代入(61.10),得出σ的极大似然估计 ∑( S 利用二阶导函数矩阵的非正定性可以说明上述估 计使得似然函数取极大值。 5 February 2021 白城师范学院
第六章 参数估计 5 February 2021 白城师范学院 第15页 解此方程组，由(6.1.9)可得 的极大似然估计为 将之代入(6.1.10)，得出 2的极大似然估计 利用二阶导函数矩阵的非正定性可以说明上述估 计使得似然函数取极大值。 1 1 ˆ n i i x x n = = = 2 2 2 1 * 1 ˆ ( ) n i i x x s n = = − =