以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明：对于多元函数，偏导数即使都存在该函数也不一定可微.现在不禁要问：当所有偏导数都存在时，还需要添加哪些条件，才能保证函数可微呢？请看如下定理定理17.2（可微的充分条件）若函数z=f(x,J）在点P(xo,Jo)的某邻域内存在偏导数fx与f,，且它们在点P连续,则在点P可微前页后页返回
前页 后页 返回 以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而 这个例子说明: 对于多元函数, 偏导数即使都存在, 该函数也不一定可微．现在不禁要问: 当所有偏导 数都存在时, 还需要添加哪些条件, 才能保证函数可 微呢? 请看如下定理: 定理 17.2 (可微的充分条件) 若函数 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) , x y 点 的某邻域内存在偏导数 f f 与 且它 P0 f 们在点 连续 在点 P0 , 则 可微
证第一步把全增量△z写作Az = f(xo +△x,yo + Ay) - f(xo, yo)=[f(x, +△x, yo +Ay) - f(xo,yo +Ay))+[f(xo,yo +Ay) - f(xo,yo)]在第一个方括号里的是函数f(x,yo+△y）关于x的增量；在第二个括号里的是函数f(xo,)关于y的增量。第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则3i,2 E(0,1),使得后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]. z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y = + + − = + + − + + + − 在第一个方括号里的是函数 0 f x y y ( , ) + 关于 x 的增量; 在第二个括号里的是函数 0 f x y ( , ) 关于 y 的增量. 第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理, 则 1 2 , (0,1), 使得 证 第一步 把全增量 z 写作
Az = f(xo +a,Ax, yo +Ay)Ax(9)+ f,(xo, Jo +0, Ay)Ay.第三步由于fx,f,在点(xo,Jo)连续,因此有f.(xo +ax, yo +Ay) = fx(xo,yo)+α,(10)(11)f,(xo,yo +0,Ay) = f,(xo, Jo)+ β,其中当(Ax,Ay)→(0,0)时,α→0, β→0.第四步将(10),(11)代入(9)式,得到Az = fx(xo, yo)Ax + f,(xo,yo)Ay+ αAx + βAy由可微定义的等价式(4)，便知f 在点(xo,J)可微后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 0 0 0 2 ( , ) ( , ) . x y z f x x y y x f x y y y = + + + + (9) 0 0 , ( , ) , x y 第三步 由于 f f x y 在点 连续 因此有 其中当 时 ( , ) (0,0) , 0, 0. x y → → → 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . x y z f x y x f x y y x y = + + + 第四步 将 (10), (11) 代入 (9) 式, 得到 由可微定义的等价式(4), 便知 0 0 f x y 在点 可微 ( , ) . 0 0 2 0 0 ( , ) ( , ) , y y f x y y f x y + = + (11) 0 1 0 0 0 ( , ) ( , ) , x x f x x y y f x y + + = + (10)
定理17.2 的应用容易验证例2中的函数f(x,y) = x3 +2xy - y3满足定理17.2 的条件，故在点(1,3)可微(且在 R上处处可微);例3中的函数z=x在((x,)/x>0,-0<<+o0}上满足定理17.2的条件，亦在其定义域上可微例4 中的函数u=sin(x+y2-e)在R’上同样可微注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如后页返回前页
前页 后页 返回 定理17.２的应用 容易验证例2 中的函数 3 2 3 f x y x x y y ( , ) 2 = + − 满足定理 17.2 的条件, 故在点 (1, 3) 可微 (且在 2 R 上处处可微); 3 {( , ) | 0, } y 例 中的函数 在 z x x y x y = − + 上满足定理 17.2 的条件, 亦在其定义域上可微； 例4 中的函数 2 3 sin( e ) R z u x y = + − 在 上同样可微. 注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如
1(xx2 + y2 0,)sin/x? + y?f(x,y) =x2 + y2 = 0.0,它在原点(0,0)处可微,但fx与f，却在该点不连续(见本节习题7，请自行验证).所以定理17.2是可微的充分性定理若f(x,y)的偏导数f,与f,在点(xo,y)都连续,则称f在点(x，y）连续可微在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + + = + + = 它在原点(0,0)处可微, 但 x y f f 与 却在该点不连续 (见本节习题 7，请自行验证). 所以定理 17.2 是可 微的充分性定理． f x y ( , ) 0 0 若 的偏导数 f f x y 与 在点( , ) x y 都连续, 则 0 0 称 在点 f x y ( , ) 连续可微． 在定理 17.2 证明过程中出现的 (9) 式, 实际上是二