元函数的一个中值公式，将它重新写成定理如下：定理 17.3 设函数f 在点(x,y）的某邻域内存在偏导数,若(x,J)属于该邻域,则存在= xo + e,(x -x) 和 n = yo +,(y- yo),0 <0,0, <1,使得f(x, y)- f(xo,yo) = f (5,y) (x -xo)(12)+ f,(xo,n) (y- yo).后页返回前页
前页 后页 返回 导数,若 属于该邻域 则存在 ( , ) , x y 元函数的一个中值公式, 将它重新写成定理如下: 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ). x y f x y f x y f y x x f x y y − = − + − (12) 0 0 定理 17.3 设函数 f x y 在点( , ) 的某邻域内存在偏 1 2 0 , 1, = + − x x x 0 1 0 ( ) 和 0 2 0 = + − y y y ( ), 使得
四、可微性的几何意义及应用一元函数y=f(x)可微，在几何上反映为曲线存在不平行于√轴的切线.对于二元函数而言，可微性则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需要先给出切平面的定义，这可以从切线定义中获得启发.在第五章81中，我们曾把平面曲线S在其上某一点 P(xo,Jo)的切线PT定义为过点P的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).这时后页返回前页
前页 后页 返回 四、可微性的几何意义及应用 一元函数 y f x = ( ) 可微，在几何上反映为曲线存在 不平行于 y 轴的切线. 对于二元函数而言, 可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系. 为此需 要先给出切平面的定义, 这可以从切线定义中获得 启发. 在第五章§1中, 我们曾把平面曲线 S 在其上某一 0 0 点 P x y ( , ) 的切线 PT 定义为过点 P 的割线 PQ 当 Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置 (如果存在的话). 这时
PQ与 PT 的夹角β 也将随 Q →P而趋于零(参见图17-2).用h和d分别表示点Q到直线PT的距离和点Q到点P的距离，由于Shsing=7'QT因此当Q沿S趋于P时0Ph=→0β→0 等同于 图 17 - 2后页返回前页
前页 后页 返回 PQ 与 PT 的夹角 也将随 Q →P 而趋于零 (参见 图17-2). 用 h 和 d 分别表示点 Q 到直线 PT 的距离 和点 Q 到点 P 的距离, 由于 • P T S d h 图 17 - 2 sin , = Q h d 因此当 沿 趋于 时, Q S P0. h d → 0 等同于 →
仿照这个想法，我们引zII进曲面S在点P的切平P面的定义(参见图17-3)S0定义3 设曲面S上一yr点P,IⅡ为通过点P的图17-3一个平面，S上的动点Q到定点 P和到平面IⅡI的距离分别记为d 和 h.若当 Q在 S上以任意方式趋近于P时,，恒有返回前页后页
前页 后页 返回 定义 3 设曲面 S 上一 一个平面, S 上的动点 仿照这个想法, 我们引 进曲面 S 在点 P 的切平 面的定义(参见图17-3). • • P Q d h x y z O S 图 17 - 3 点 P, Π 为通过点 P 的 Q 到定点 P 和到平面Π 的距离分别记为 d 和 h. 若 当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有
h→0,d则称IⅡ为曲面S在点P的切平面，称P为切点定理 17.4 曲面 z=f(x,y) 在点 P(xo,Jo,f(xo,yo))存在不平行于z轴的切平面的充要条件是：函数J在点 P,(xo,yo) 可微证(充分性)若函数f在P可微,由定义知道z - zo = fx(xo,yo)(x -xo)+ f,(o, yo)(y - yo)+ o(p)后页返回前页
前页 后页 返回 → 0, h d 则称Π为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点. 定理 17.4 曲面 0 0 0 0 z f x y P x y f x y = ( , ) ( , , ( , )) 在点 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 0 0 0 P x y ( , ) 可微. 证 (充分性) 若函数 f 在 P0 可微, 由定义知道 0 0 0 0 0 0 0 ( , )( ) ( , )( ) ( ), x y z z f x y x x f x y y y o − = − + − +