三、可微性条件由可微定义易知：若f在点P(x,)可微,则f 在P必连续.这表明：“连续是可微的一个必要条件．”此外，由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条件:定理17.1未若二元函数f在其定义域内一点（xo,yo）处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在.此时,(1)式中的后页返回前页
前页 后页 返回 三、可微性条件 0 0 0 由可微定义易知: 若 f P x y f 在点 可微 则 在 ( , ) , P0 必连续.这表明: “ 连续是可微的一个必要条件．” 此外, 由 (5), (6) 两式又可得到可微的另一必要条 件: 定理17.1 若二元函数 f 在其定义域内一点 ( x0 , y0 ) 处可微, 则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存 在．此时, (1) 式中的
A= fr(x,yo), B= f,(xo,yo)于是，函数f在点(x,yo)的全微分(2)可惟一地表示为df(xo,yo) = fx(xo,yo)Ax + f,(xo,yo)Ay.与一元函数一样，若约定自变量的增量等于自变量的微分，即Ax = dx, Ay = dy,则全微分文可写为df(xo,yo) = f.(xo,yo)dx + f,(xo,yo)dy后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 ( , ) , ( , ). A f x y B f x y = = x y 于是, 函数 0 0 f x y 在点( , ) 的全微分(2)可惟一地表 示为 d ( , ) ( , ) ( , ) . 0 0 0 0 0 0 x y f x y f x y x f x y y = + 与一元函数一样, 若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即 x x y y = = d , d , 则全微分又可写为 d ( , ) ( , )d ( , )d . 0 0 0 0 0 0 x y f x y f x y x f x y y = +
若函数f在区域D 的每一点(x,)都可微,则称函数f在区域D上可微，且f在D上的全微分为(8)df(x,y)= fx(x,y)dx+ f,(x,y)dy定理17.1的应用：对于函数f(x,y)= /x? + y2,由于 f(x,0)=lxl,f(0,)=lyl,它们分别在x=0与y=0都不可导，即f,(0,0)与 f,(0,0)都不存在,故f(x,y)在点(0,0)不可微.返回前页后页
前页 后页 返回 若函数 f 在区域 D 的每一点 (x, y) 都可微, 则称函 数 f 在区域 D 上可微，且 f 在 D 上的全微分为 d ( , ) ( , )d ( , )d . x y f x y f x y x f x y y = + (8) 定理17. 1 的应用: 对于函数 2 2 f x y ( , ) , = x y + 由于 f x x f y y ( ,0) | |, (0, ) | |, = = 它们分别在 x = 0 与 y = 0 (0,0) x 都不可导，即 f 与 (0,0) , y f 都不存在 故 f x y ( , ) (0,0) . 在点 不可微
再看一个例子：xyx*+ y* + 0,/x’+y例5 考察函数 f(x,)=x* + y2 = 00,在原点的可微性解按偏导数的定义先求出0-0f,(0,0) = lim f(Ax,0)- f(0,0)lim: 0;Ax△x4x-0Ar-→0后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0; x x x f x f f x x → → − − = = = 再看一个例子: 在原点的可微性． 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0 xy x y f x y x y x y + = + + = 例5 考察函数 解 按偏导数的定义先求出
同理可得f,(0,0,)=0.若f在原点可微，则f(0 + △x,0 +Ay) - f(0, 0) -[f,(0,0)△x + f,(0,0)Ay)AxAy/Ax + A,y2应是p=x2+△y2的高阶无穷小量。然而，极限AxAylim却不存在(第十六章 $2 例3)，故此p-0 Ax2 + Ay2f(x,y)在原点不可微返回前页后页
前页 后页 返回 同理可得 (0,0,) 0. y f = 若 f 在原点可微, 则 2 2 (0 ,0 ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] x y f x y f f x f y x y x y + + − − + = + 2 2 应是 的高阶无穷小量. 然而,极限 = + x y 2 2 0 lim x y → x y + 却不存在 (第十六章§2 例3), 故此 f (x, y) 在原点不可微