浙江科技学院物理化学教案第九章所有的点产生的总压力为Ps，称为附加压力。凹面上向下的总压力为：P-Ps，所以凹面上所受的压力比平面上小。剖面图PsA附加压力示意图杨-拉普拉斯公式1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率半径之间的关系式：一般式：一1P,=(+RT+R,2特殊式（对球面）：P, =R根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是指向球面的球心。Young-Laplace一般式的推导1. 在任意弯曲液面上取小矩形曲面ABCD（红色面），其面积为XY。曲面边缘AB和BC弧的曲率半径分别为和2.作曲面的两个相互垂直的正截面，交线Oz为0点的法线。3.令曲面沿法线方向移动dz，使曲面扩大到A'B'C"D'（蓝色面)，则x与y各增加dx和dy。任意弯曲的液面扩大时所做功的分析4.移动后曲面面积增加dA和dV为：dA = (x + dx)(y+ dy)-xy= xdy+ ydxdV = xyd-6
浙江科技学院 物理化学教案 第九章 所有的点产生的总压力为 Ps ，称为附加压力。凹面上向下的总压力为：Po-Ps ，所以凹面上所受的 压力比平面上小。 剖面图 附加压力示意图 杨-拉普拉斯公式 1805 年 Young-Laplace 导出了附加压力与曲率半径之间的关系式： 一般式： 特殊式（对球面）： ) 11 ( ' 2 ' 1 s RR P γ += ' s 2 R P γ = 根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向液体， 凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是指向球面的球心。 Young-Laplace 一般式的推导 1. 在任意弯曲液面上取小矩形曲面 ABCD(红色面)，其面积为 xy。曲面边缘 AB 和 BC 弧的曲率半径分别 为 和 。 2. 作曲面的两个相互垂直的正截面，交线 Oz 为 O 点的法线。 3. 令曲面沿法线方向移动 dz ，使曲面扩大到 A’B’C’D’(蓝色面)，则 x 与 y 各增加 dx 和 dy 。 4. 移动后曲面面积增加 dA 和 dV 为： zxyV xyyx xyyyxxA dd dd )d)(d( d = += −++= 6
浙江科技学院物理化学教案第九章5.增加dA面积所作的功与克服附加压力Ps增加dV所作的功应该相等，即：dA=Pd(A)(xdy + ydx)= P,xydz6.根据相似三角形原理可得：(x+dx) /(R +dz)= x/ R化简得dx=xd=/R(v+dy)/(R, +d=)=y/R)化简得dy=xd=/R7.将dx,dy代入(A)式,得：P=+RR如果是球面，R=R',则：8.P=2yR'PoYoung-Laplace特殊式的推导D(1)在毛细管内充满液体，管端有半径为R的球状液滴与之平衡。R外压为PO，附加压力为Ps，液滴所受总压为：Po + Ps2.对活塞稍加压力，将毛细管内液体压出少许，使液滴体积增加dV，相应地其表面积增加dA。克服附加压力ps环境所作的功与可逆增加表面积的吉布斯自由能增加应该相等。Po+Ps4V=3元R3dV=4元RdR3R'+dR'代入得：P=2R'附加压力与毛细管中液面高度的关系1.曲率半径R与毛细管半径R的关系：R=R/cosq如果曲面为球面，则R=R。2. Ps=2g/R =(r1-rg) gh因r1>>rg所以：Ps=2g/R={1gh一般式：2gcosq/R=Drgh弯曲表面上的蒸汽压一一开尔文公式饱和蒸汽(T,pg)液体(T,P)对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式，设气体为理想气体。[aG.][aG (g)dp.dpop,ap.JV. (l)dp, =Vm (g)dpgVm()(PI- p)= RT In PsPg.o7
浙江科技学院 物理化学教案 第九章 5. 增加 dA 面积所作的功与克服附加压力 Ps 增加 dV 所作的功应该相等，即： (A) d)dd( dd s s zxyPxyyx VPA =+ = γ γ 6. 根据相似三角形原理可得： ' 2 ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 ' 1 dd /)d/()d( dd /)d/()d( RyzRyy z/Rxy RxzRxx z/Rxx =++ = =++ = 化简得 化简得 7. 将 dx,dy 代入(A)式,得： ) 11 ( ' 2 ' 1 s RR P γ += :,' 2 ' 8. 如果是球面， 1 = RR 则 ' 2 s R P γ = ●Young-Laplace 特殊式的推导 (1)在毛细管内充满液体，管端有半径为 R’ 的球状液滴与之平衡。 外压为 p0 ，附加压力为 ps ,液滴所受总压为： p0 + ps 2.对活塞稍加压力，将毛细管内液体压出少许，使液滴体积增加 dV，相应地其表 面积增加 dA。克服附加压力 ps 环境所作的功与可逆增加表面积的吉布斯自由能 增加应该相等。 4 '3 '2 ' d 4 d 3 V R VR = = π π R 代入得： ' 2 s R p γ = ●附加压力与毛细管中液面高度的关系 1.曲率半径 R'与毛细管半径 R 的关系： R'=R/cosq 如果曲面为球面，则 R'=R。 2. ps=2g/R'=(rl-rg)gh 因 rl>>rg 所以：ps=2g/R'=rlgh 一般式：2g cosq/R=Drgh 弯曲表面上的蒸汽压——开尔文公式 液体(T,pl) 饱和蒸汽(T,pg) 对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式，设气体为理想气体。 m m l g l g (l) (g) d d T T G G p p p p ⎡ ⎤ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m lm V pV (l)d (g)d = pg 0 g m ll g,0 (l)( ) ln p V p p RT p − = 7