凸集举例 例:证明超球|xl|≤r为凸集 证明设x,y为超球中的任意两点p≤a≤1 则有:|ax+(1-a)y ≤clx+(-a)Jy ≤c+(1-c)r=r 即点ax+(1-a)y属于超球,所以超球为凸集
例： 证明超球 x r 为凸集． 证明：设 x , y 为超球中的任意两点， 0 1, 则有： x + (1−)y x + (1−) y r + (1−)r = r, 即点 x + (1−)y 属于超球, 所以超球为凸集． 凸集----举例
凸集-性质 (1)任意多个凸集的交集为凸集 (2)设D是凸集,B是一实数,则下面的 集合是凸集D={y=x,x∈D} (3)设D1和D2是R上的凸集,则 a)D+D2={x1+x21|x1∈D1,x2∈D2}是凸集 (b)D-D2={x1-x2|x1∈D1,x2∈D2}是凸集
(1) 任意多个凸集的交集为凸集． (2) 设 D 是凸集， 是一实数，则下面的 集合是凸集： D = y y = x , x D 凸集-----性质 (3) (b) | , . (a) | , ; 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 是凸集 是凸集 设 和 是 上的凸集，则 D D x x x D x D D D x x x D x D D D R n − = − + = +
凸集-性质 推论设D,=1,2,…,k是凸集,则∑月D 也是凸集,其中是实数 (4)S是凸集当且仅当中任意有限个点的凸 组合仍然在S中
推论： = k i i Di 1 设 D i k i , = 1,2, , 是凸集，则 也是凸集，其中 i 是实数． (4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中. 凸集-----性质
凸集-性质 注:和集和并集有很大的区别,凸集的并集 未必是凸集,而凸集的和集是凸集 例:D1={x,0yx∈R表示x轴上的点 D2={0yy∈R表示y轴上的点 则D1∪D2表示两个轴的所有点它不是凸集; 而D+D2=R2凸集
注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 例： D (x ) x R T 1 = ,0 表示 x 轴上的点． D ( y) y R T 2 = 0, 表示 y 轴上的点． 则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集； 2 而 D1 + D2 = R 凸集． 凸集-----性质
凸集-包/壳( Convex hul) 定义设Sg任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为的凸包,记为KS即 H(S)=1∑4x∈S,4202=1,2…,m∑4=1,m∈N i=1 i=1 定理21.4从S是R中所有包含S的凸集的交集 H(S是包含S的最小凸集
定义 设 S 中任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即 , n S R 凸集-----凸包/壳(Convex Hull) = = = = = m i i i i m i H S i xi x S i m m N 1 1 ( ) , 0, 1,2..., , 1, 定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集. H(S)是包含S 的最小凸集