請勿用於盈利之目的 能量守恒 §4-1什么是能量 讲完对事物的一般性播述后,从这一章起,我们开始比较详细地研究物理学中各个方面 的问题.为了说明理论物理学中可能用到的概念和推理的类型,我们现在来考查能量守恒 定律它是物理学最基本的定律之 有一个事实,如果你愿意的话,也可以说一条定律,支配着至今我们所知道的一切自然 现象.没有发现这条定律有什么例外…一就我们所知,它是完全正确的.这条定律称为能 量守恒定律.它指出,在自然界所经历的种种变化之中,有一个称之为能量的物理量是不变 的.那是一个最抽象的概念,因为它是一种数学原理说的是在某种情况发生时,有一个数 量是不变的.它并不是一种对机制或者具体事物的描写,而只是一件奇怪的事实.起先我 们可以计算某种数值,当我们看完了大自然要弄的技巧表演后,再计算一次数值,其结果 是相同的(有点类似于在红方格中的象,移动了几步后一具体步骤并不清楚一它仍 然在某个红方格里.我们这条定律就是这种类型的定律)由于这是-种抽象的概念,我们 将用一个比喻来说明它的含义 设想有一个孩子或许就叫他“淘气的丹尼斯( Dennis)”,他有一堆积木,这些积木是绝 对不会损坏的,也不能分成更小的东西.每一块都和其余的相同.让我们假定他共有28块 积木.每天早上他的母亲把他连同28块积木一起留在一个房间里.到了晚上,母亲出于好 奇心很仔细地点了积木的数目,于是发现了一条关于现象的规律—一无论丹尼斯怎样玩积 木,积木数目仍旧是28块!这种情况继续了好几天,直到有一天她发现,积木只有27块 了,但是稍许查一下就发现在地毯下面还有一块——为了确信积木的总数没有改变,她必 须到处留神,然而某一天积木的数目看来有些变化,只有26块了!仔细的调查表明:窗户 已经打开,再朝窗外一看,就发现了另外的两块积木.又有一天,经过仔细的清点表明总共 有80块积木!这使她相当惊愕,以后才了解到布鲁斯( Bruce)这个孩子曾带着他的积木来 玩过,并留了几块在丹尼斯的房间里.自从丹尼斯的母亲拿走了多余的积木,把窗关上,并 且不再让布鲁斯进来以后,一切都很正常,直到有一次,她清点时发现只有25块积木然而, 在房间里有一个玩具箱,母亲走过去打开这个箱子,但是孩子大声叫喊道:“不别打开我的 箱子,”不让她打开玩具箱.这时母亲十分好奇,也比较机灵,她想出了一种办法,她知道 块积木重8英两,有一次当她看到积木有28块时曾经称过箱子的重量为16英两这次她 想核对一下,就重新称一下箱子的重量然后减去16英两,再除以3,于是就发现了以下的 式子; (所见到的积木数)+箱重)-16英两=常数 8英两 接着,又好象出现了某种新的偏差,但是仔细的研究又指出,浴缸里的脏水的高度发生了变 化,孩子正在把积木扔到水里去,只是她看不见这些积木因为水很混浊,不过在她的公式里
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曼物理学讲义(第灬卷) 請勿用於盈利 勿再添上一项她就可以查明在水中有几块积木由于水的高度原来是6英寸,每一块积水会 使水升高英寸,因而这个新的公式将是 见到的积木数)+箱重。-16英两+水的高度-6英寸。常效,(2 4英寸 之在她这个复杂性逐渐增加的世界里,她发现了一系列的项来示计算积木的方法,这积术 藏在不准她去看的那些地方.结果她得出了二个用于计算数量的复杂公式,无论孩子怎料 玩耍,这个量总是不变的 这件事情和能量守恒有什么相似的地方呢?抽象地说,必须从这个图象中除云的最显 著的一点就是根本没有积木在(41)及(42)中取走第一,我们就会发现自已是在计算 多少是有点抽象的东西.上述比较的相似之处在于以下几点.第一,当我们汁算能量时,有 时其中的一部分离开系统跑掉了,有时又有另一些館量进入这个系统.为了验证能量的守 恒,必须注意我们没有把能量引入系统中或从系统中取走能盘.第二,能量有许多不同的形 式,对每一种形式都有一个公式.这些不同形式的能量是:重力势能、动能、热館弹性能、电 能、化学能、辐射能核能、质能.假如我们把表示这些能量的公式全都加在一起,那么除非 有能量逸出或有其他能量加入,否则其总和是不会改变的 重要的是要认识到:在今天的物理学中我们不知道能量究竟是什么我们并不把能量 想象成为以一定数量的滴状形式出现.它不是那群的.可是有一些公式可以用来计算某种 数量,当我们把这些数量全部加在一起时,结果就是“28”总是同一个数目.这是一个 抽象的对象,它一点也没有告诉我们各个公式的机制或者理由是什么 §4-2重力势能 只有当我们的公式包含了所有形式的能量时才能理解能量守恒.我想在这里讨论一下 地球表面附近的重力势能的公式并用一种与历史无关的方式来导出这个公式,这种推导方 式只是为这堂课想出来的也就是说一种推理思路,为的是要向你们说明一个值得注意的情 况:从几个事实和严密的推理出发可以推断出很多有关大自然的知识.它也表明了理论物 理学家投身于怎样的一类工作,我们这里的推理仿照了卡诺arno)讨论蒸汽机效率时所 使用的极其杰出的论证方式 让我们考虑一种起重的机械,它有这样的特点:用降低一个重物的方法来提高另:一个重 物,此外还假设:在这种起重机械中不可能有水恒的运动.(事实上,根本不存在什么水恒 运动这正是能量守恒定律的一般表述)在定义永恒运动时必须特别小心,首先我们定义 起重机械的永恒运动.假如我们提起和放下一些物并使机械回复到原来的状态后,发现 最后的结果是提升了一个重物,于是我们就有了永恒运动的机械因为我们可以利用被提起 的重物使另外的一些东西运转,这就是说,提起重物的机械精确地回到原来的状态,而且是 完全独工完咸的—它没有从外界(就象布鲁斯的积木那样)取得能量来抬高这个重物 图4-1所示是一台很简单的起重机械,这台机械举起三个单位的重物.我们把这三个 事实上你们可能已经知道式(43),囚此这讨论的意义与其说是得出.3式不如说是表明能用推论证的方 法来得出这样的结果
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第4章能量守恒 请单位的重物放在一个秤盘里,在另一个盘内则放置一个单位的重物.但是,为了机蛾实际 勿 上能工作,我们必须在左边减去一点点重量,另一方 用f,我们可以通过降低三个单位的重物来升高一个单 於位的重物,只要我们在右边的盘子里提起一点点重量 盈当然:我们认识到,对于任何实际的起重机械来说 图41简单的起亟机械 利 了使它运行必须施加一点额外的作用.这一点我们时不去考虑,理想的机械并不需要额 外的作用,然而它们事实上是不存在的,我们实际使用的机械在某种含义上可以说几乎是 乙可逆的,即假如降低一个单位的重物能使这种机械提升三个单位的重物的话那么降低三个 单位的重物也能使这种机械把一个单位的重物提升到接近原来的高度 我们设想存在着两类机械:一类是不可逆的,它包括所有的真实的机械;另一类是可逆 的,当然实际上它是不可能达到的,不管我们怎样仔细地去没计轴承、杠杆等等.但是,我 们假设有这样的东西——一台可逆机,在它使一个单位(一磅或任何其他单位)重的物体降 低一个单位距离的时候提起了三个单位的重物.把这台可逆机称为A机,假定它使三个 单位的重物升高的距离是0.此外,假设还有另一台机械—B机,它不一定是可逆机,并 且也使一个单位的重物降低一个单位距离,不过使三个单位的重物升高的距离是y我们 现在可以证明y不会高于,这就是说,不可能建造这样一种机械,能把重物提得比可逆机 所提到的膏度还要高.让我们来看看为什么悬这样.假设“大于a.我们用B机一个单 位的重物降低一个单位距离,这使三个单位的重物升高距离y.然后,我们可以使这个重物 从y降到a,获得自由的能量,再利用可逆机A反向运转,使三个单位的重物降低z而使 个单位的重物升高一个单位距离,这样一个单位的重物回到了原来的高度,而使这两台机 械又处于初始的备用状态!因此,假如y高于a,那么就会有永恒运动,但我们已经假设这 是不可能的.于是利用这些假定,我们就能够推导出不会高,因此在所有可能设计的 机械中,可逆机是最好的, 我们还可以看出所有的可逆机提升的高度一定完全相同.假定B的确也是可逆的,当 然,前面关于y不会高于a的论据现在同样成立,但是我们也可以把这两台机械的工作顺序 倒过来,即反之论证不高于9.这一点是很值得注意的,因为它使我们能够在不考察内部 机制的情况下分析不同的机械对物体可以提升的高度.我们立刻知道,如果有一个人制作 了一组极其精巧的杠杆,利用这组杠杆便一个单位的重物降低一个单拉距离就可以把三个 单位的重物提升到某一个高度,把这组杠杆和一个具有同样用途的简单的可逆的杠杆作比 较就可以知道它不会比简单的可逆的杠杆提得更高,而是或许还会低一些假如这个人的机 被是可逆的,我们也能精确地知道它可以提得多高.概括地说就是:每一台可逆机械无论怎 样运转,当它使一个单位的重物下降一个单距离时,总是会使三个单位的重物提升同样的 距离.很清楚,这是一条非常有用的普遍定律.接下来的问题自然是x是多少? 假如我们有一台可逆机它能在3对1时提升距离x.在图42中,我们在一个固定的 多层架子上放置三个球.另外有一个球放在离地面一英尺的台上.这台机械可以使一个球 降低1英尺来抬高三个球.现在我们来这样安排:设容纳三个球的升降台有一层底板和两 层架子,间隔正好是G,其次,容纳球的多层架的间隔也是a(图a).首先我们使小球从多层 架水平地滚到升降台上的架子中去(图b,我们假设这并不需要能量,因为高度并没有改 变.于是开动可逆机进行工作:它使一个球降到底层,而使升降台升高距离2(图o).由于
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34 费曼物理学讲义(第一卷) 请我们已经巧妙地安排了多层架,于是这些球又和架子相平.这样就把球卸到了多层架上(图 勿 d).卸了球以后,我们可以使机械回复到初始状 态.现在在上囿三层架子上有三个球,在底部有 於 1英尺 个球,但是奇怪的是从某种观点上讲,我们根本 没有使其中两个升高,因为,无论如何第二层和第 起始 )1置玥 利 三层架子象以前一样里面装着球因此,最后的效 果是使一个球升高了3距离.假如3超过1英 胜A 尺,那么我们就可以把小球放下来使机械回到初 始状态(图∫,这样就能使这个装置再次运转所 以不可能超过1英尺,因为如果超过1英 il砑使3磅升高卸球 距离 尺3我们就能创造出永恒运动.同样,使整台机被 反向运行,我们可以证明,1英尺不能超过&,因 张不回为这是一台可逆机所以既不太于也不小于 1英尺,这样我们只是通过论证就发现了一条规 英尺 重新安排 团終了 律,·英尺,显然,这条规律可以推广为:开 图42一种可逆机 动一台可逆机使1磅重物降下一定距离,那么这 台机械可以使2磅重物提高那段距离的.另一种表示结果的说法是:8磅乘以所提高的 距离(在我们的问题中是叫),等于1磅乘以所降低的距离(在这种情况下是1英尺).如果 我们先把所有的球的重量分别乘以它们现在所在的高度,然后使机械运转,再把所有的球的 重量乘以它们所在的高度,得出的前后结果不会有任何改变.(我们必须把例子中只移动 个重物的情况推广到当我们降低一个重物就能提升几个不同的重物的情况—但这是不难 的. 我们把重量和高度的乘积之和称为重力势能—这是一个物体在空间上与地球之间的 相互关系而具有的能量.那么,只要我们离地球不是太远(当位置很高时重力要减弱),重力 势能的公式就是 一个物体的重力势能)=(重量)×(高度) 这是一条十分优美的推理思路唯一的问题在于,或许这并不是实际的情形(无论如何,大 自然毋须按我们的推理行事)例如,也许永恒运动事实上是可能的,某些假设可能是错误 的,或者我们的推理或许有错误所以验证总是必要的.事实上实验证明它是正确的 那种与别的物体的相对位置有关的能量的一般名称就称为势能当然,在上面的特殊情 况中我们则称它为重力势能如果我们克服电力做功而不是克服重力做功,即用许多杠 杆“提升”一些电荷使之离开其他的电荷,那么所包含的能量就称为电势能,一般的原则是 能量的变化为有关的力乘以力所推过的距离而且这是一般的能量变化: (能量的变化)=(力)X(力的作用下所通过的距离) 随着课程的进展我们还要讲到其余的种种势能 在许多情况下能量守恒原理对于推断会发生什么事都是非常有用的、在高中你们已学 过许多有关不同用途的滑轮和杠杆的定律我们现在可以看到所有这些“定律都是一回事
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第4章能量守但 并且不需要记住75条法则、一个简单的例子是如图4-3所示的一个光滑斜面,很巧这是 勿一个边长为84-5的三角形.我们在斜面上用滑轮挂上一个1磅重的物体,而在滑轮的 用另一端悬挂一个重物W.我们想知道为了平衡在斜面上的1磅重物,W必须是多重?怎 於样来求出答案呢?假如我们说情况正好是平衡的话那就是可逆的,因而可以使重物上下移 动.所以,我们可以考虑下述情况.起初如图(a)所示,1磅重物在斜面底部而重物W在 利离动是斜边的长度,如图()所示,即5英尺我们使1磅重的重物只提高了3英尺固W 之 降低了5英尺,所以W-5磅.注意,我们是从能量守恒而不是从力的分解来得出这个 结论的.然而在这里巧妙是相对的.可以用另一种更高明的方法来推导这个结果这个由 斯蒂维纽司( Storing)所发现的方法就铭刻在他的募碑上.图44说明这个重物一定是 3/5磅,因为这个圆球链并没有转动,很明显链条的下端的部分是为自身所平衡的,所以一 边三个重物的拉力必须与另一边五个重物的拉力平衡,即按边长的比例.从图中你们可以 看到,W一定是下磅 ○ 图4-3斜面 图44斯蒂维阳司的墓志 让我们现在用图4-5所示的螺旋起重器这个比较复杂的问题来说明能量原理,转动 螺旋的把柄长为20英寸,螺纹为每英寸10圈,我们想知道,为了举起一吨(2000磅)的重 物,在把柄上要施加多大的力?假如我们要使一吨重物升高1英寸就必须使把柄转10圈 把柄转一次时大约走过126英寸,所以它总共要走过1260英寸如果我们利用各种滑轮之 类的机械,就可以用加在柄的端点上的一个未知的小重物W来举起1吨的重物,我们发现 W大约是1.6磅,这就是能量守恒的一个结果. 10圈螺纹/英寸 图45螺旋起重器 图48一端支撑着的荷重杆 在图46中我们举一个稍为更复杂一点的例子,一根8英尺长的棒,一端被支撑着,在 摔的中间有一个60磅的重物离支点2英尺处有一个1006的重物假如不考虑棒的重量
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