.80. 高分子通报 2017年2月 教 学 高分子链构象统计算法教学的探讨 刘国栋，张庆新，瞿雄伟 (河北工业大学化工学院，天津300130) 摘要：高分子链的构象统计算法对于高斯链概念的理解至关重要，同时也是高分子统计现论的基础。日前 常用教材的推导过程各不相同，通常采用Kh的计算方法，但这个方法不仅过程复杂紧瓒，易使学生望而却 步，而且还存在瑕镜，不利于学生对高斯链概念的理解。本文以学生所学数理统计知识为基础，对经典的K加 统计算法进行修订，介绍了一种柔性高分子链均方末端距的统计算法。这种方法过程简单明了，易于接受，有 助于学生对高斯链概念的理解，针对不同数理基础的学生，还提出了一种更为简单的均方末端距计算方法， 关健词：高斯链：均方末端距：统计算法：中心极限定理 均方末端距（严）是描述高分子链尺寸的重要参数，也是高分子最基础的结构参数。对于自由连接 链及等效自由连接鞋，的求解通常采用几每算法和统计算法，其中几何算法相对比较简单，统计 法数学过程比较繁项，但后者因为给出了高斯链和高斯分布的概念而不可或缺，不仅是高分子溶液理论 橡胶弹性统计理论的基础，也是整个高分子物理科学的基础理论之一。目前教材中采用最多的是高分 著名科学家Kuhn提出的方法2-刀。这种方法虽然数学过程较为复杂，但对数理基础要求不高，因此适 合本科生学习。除此之外，有的教材采用Bueche和Doi的方法，其过程严谨，但对数理基础要求较高 不太话合一般学生学习 一般学生对几何算法接受起来不存在困难，但对统计算法则显得较为吃力，很 多学生知难而退，对高斯链和高斯分布的概念只求知其然，不求知其所以然 Kuh的统计算法中首先求出高分子链末端在x轴投影的几率密度函数（即所谓“无规行走”问题） 如下： w=层山 (1) 式中子=品，然后再拓展到三维空间(“无规飞行)，最终求得自由连接链的厅。式1)是柔性链在三 维空间几率密度函数及厄求解的关键，也是高断链概念建立的基础，有的教材中直接给出结果并没有具 体的螺过程[可，其至 一些教材直接给出三维空间的几率密度函数-山，这不利于学生对高斯链概念的 理解。也有不少教材中有详细的推导过程，但是作者在教学过程中发现此计算方法存在 定的瑕藏， 期望知其所以然的学生在学习过程中留有缺陷，不能实现完完全全的“知其所以然”，这不利于他们对高 斯链概念的深入理解，而且对后续高分子稀溶液理论、橡胶弹性统计理论的学习也会产生不利影响。本 文就该方法的缺陷与读者进行探讨，并给出一种合理而且相对简单的计算方法。另外，本文还给出一种 更为简单的统计算法，适合不同数理基础的学生学习 1 Kuhn的统计算法 假定化学键的长度为，数量为，固定高分子链的一端在坐标原点，求取另一端在三维空间的几率 372 基金项目：河北工业大学高分子材料与工程专业省级“专业综合改苹试点“项目资助： 作者简介：刘国栋(1973一)，男，教授，主要从事《高分子物理》教学及聚合物结构性能关系研究。Eail:liugd@hbut.ed山.cm C)1994-2020 China Academie Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.enki.net
１０．１４０２８／ｊ．ｃｎｋｉ．１００３－３７２６．２０１７．０２．０１１ 收稿：２０１６－０５－０４；修回：２０１６－１１－１０； 基金项目：河北工业大学高分子材料与工程专业省级“专业综合改革试点”项目资助； 作者简介：刘国栋（１９７３－），男，教授，主要从事《高分子物理》教学及聚合物结构性能关系研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｕｇｄ＠ 檭檭檭檭檭檭檭 檭 檭 檭檭檭檭檭檭 檭 殐 殐 殐 殐 ｈｅｂｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ． 教 学 高分子链构象统计算法教学的探讨 刘国栋，张庆新，瞿雄伟 （河北工业大学化工学院，天津 ３００１３０） 摘要：高分子链的构象统计算法对于高斯链概念的理解至关重要，同时也是高分子统计理论的基础。目前 常用教材的推导过程各不相同，通常采用 Ｋｕｈｎ的计算方法，但这个方法不仅过程复杂繁琐，易使学生望而却 步，而且还存在瑕疵，不利于学生对高斯链概念的理解。本文以学生所学数理统计知识为基础，对经典的 Ｋｕｈｎ 统计算法进行修订，介绍了一种柔性高分子链均方末端距的统计算法。这种方法过程简单明了，易 于 接 受，有 助于学生对高斯链概念的理解。针对不同数理基础的学生，还提出了一种更为简单的均方末端距计算方法。 关键词：高斯链；均方末端距；统计算法；中心极限定理 均方末端距（ｈ２ ）是描述高分子链尺寸的重要参数，也是高分子最基础的结构参数。对于自由连接 链及等效自由连接链，ｈ２ 的求解通常采用几何算法和统计算法［１］，其中几何算法相对比较简单，统计算 法数学过程比较繁琐，但后者因为给出了高斯链和高斯分布的概念而不可或缺，不仅是高分子溶液理论、 橡胶弹性统计理论的基础，也是整个高分子物理科学的基础理论之一。目前教材中采用最多的是高分子 著名科学家 Ｋｕｈｎ提出的方法［２～７］。这种方法虽然数学过程较为复杂，但对数理基础要求不高，因此适 合本科生学习。除此之外，有的教材采用 Ｂｕｅｃｈｅ和 Ｄｏｉ的方法［８］，其过程严谨，但对数理基础要求较高， 不太适合一般学生学习。一般学生对几何算法接受起来不存在困难，但对统计算法则显得较为吃力，很 多学生知难而退，对高斯链和高斯分布的概念只求知其然，不求知其所以然。 Ｋｕｈｎ的统计算法中首先求出高分子链末端在ｘ 轴投影的几率密度函数（即所谓“无规行走”问题） 如下： Ｗ（ｘ）ｄｘ ＝ β 槡π ｅ－β ２ｘ２ ｄｘ （１） 式中β ２ ＝ ３ ２ｎｌ２，然后再拓展到三维空间（“无规飞行”），最终求得自由连接链的ｈ２ 。式（１）是柔性链在三 维空间几率密度函数及ｈ２ 求解的关键，也是高斯链概念建立的基础，有的教材中直接给出结果并没有具 体的求解过程［１］，甚至一些教材直接给出三维空间的几率密度函数［９～１１］，这不利于学生对高斯链概念的 理解。也有不少教材中有详细的推导过程，但是作者在教学过程中发现此计算方法存在一定的瑕疵，使 期望知其所以然的学生在学习过程中留有缺陷，不能实现完完全全的“知其所以然”，这不利于他们对高 斯链概念的深入理解，而且对后续高分子稀溶液理论、橡胶弹性统计理论的学习也会产生不利影响。本 文就该方法的缺陷与读者进行探讨，并给出一种合理而且相对简单的计算方法。另外，本文还给出一种 更为简单的ｈ２ 统计算法，适合不同数理基础的学生学习。 １ Ｋｕｈｎ的统计算法 假定化学键的长度为ｌ，数量为ｎ，固定高分子链的一端在坐标原点，求取另一端在三维空间的几率 · ０８ · 高 分 子 通 报 ２０１７年２月
第2期 高分子通报 ·81· 密度函数，然后即可得到高分子链的相关参数。Kun的统计算法是先通过“无规行走”的方法求取高分 子链末端在x轴投影的几率密度函数，假定化学链的投影向前走A步，向后走B步，则投影最终距离原 点mAB步（参见图1）。 A 图1 one dimensional random walk 每步向前和向后的概率各为Q5,因此： W(m,n)=() (2) 因为n很大并远大于m,利用Stirling公式和Taylor展开式，并忽略高次项，由上式可得（数学推导过程略）： W(m)din=空（径）eadn (3) 上式的变量是m,要把步数m化成长度工，因此需要求出每步（即化学键）在x轴上投影L,的平均值， Kuhm算法中把L的根均方值后作为其平均值)，因此： ,dm -3d (4) (5) 冷子=，上式变为式(1)，即得高分子链在一维空间投影的几帝密度函数。在此基础上，对于三维空间： W(r.y,<)drdydz =(drdyds (6) w(h)dh=(足)e4hdh (7) 然后可以得到： (8) 在变量从m变成工之前，尽管数学过程较为复杂，但逻辑严谨，可是在坐标变量转变过程中则存在 两个问题：(1)把,的根均方值作为其平均值，这在数学上显然是错误的，因为随机数平方的平均值并不 等于平均值的平方：(2)从数 里统计角度，化学键在x轴的投影不是固定值一和m之间不存在 一对应 关系，相同的m值可以有不同的x值，而不同的m值可以得到相同的x值，因此： W(x)dx≠W(m)dm (9) 对于第一个问题，作者计算表明L,的平均值为/2，但将此值代入则得到错误的结果。第二个问题表明 Ku的计算方法不严谨，存在断层。这两个问题也使得学生不可能做到真正的“知其所以然”，而只能是似 懂非植，不能真正理解高分子链段在空间的分布为什么符合高斯分布，毫无是问这不 利于其对高斯链和高 斯分布概念的深入理解。Kuh的算法由于同时存在这两个问题，反而使得最终结果是正确的。 2一维空间投影几率密度函数的求取 中心极限定理是数理统计中的一个基本定理，是《概率论与数理统计》课程的重要教学内容之一， 1014028/1cmki1003-37262017.02011 (C)1994-2020 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
１０．１４０２８／ｊ．ｃｎｋｉ．１００３－３７２６．２０１７．０２．０１１ 密度函数，然后即可得到高分子链的相关参数。Ｋｕｈｎ的统计算法是先通过“无规行走”的方法求取高分 子链末端在ｘ轴投影的几率密度函数，假定化学键的投影向前走 Ａ 步，向后走Ｂ 步，则投影最终距离原 点 ｍ＝Ａ－Ｂ 步（参见图１）。 图１ Ｆｉｇｕｒｅ１ Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ 每步向前和向后的概率各为０．５，因此： Ｗ（ｍ，ｎ）＝ （１ ２） ｎ ｎ！ （ｎ＋ｍ ２ ）！（ｎ－ｍ ２ ）！ （２） 因为ｎ很大并远大于ｍ，利用Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式和 Ｔａｙｌｏｒ展开式，并忽略高次项，由上式可得（数学推导过程略）： Ｗ（ｍ，ｎ）ｄｍ ＝ １ ２ （２ πｎ） １ ２ ｅ－ｍ２ ２ｎｄｍ （３） 上式的变量是 ｍ，要把步数 ｍ 化 成 长 度ｘ，因此需要求出每步（即 化 学 键）在ｘ 轴 上 投 影ｌｘ的 平 均 值， Ｋｕｈｎ算法中把ｌｘ的根均方值 ｌ 槡３ 作为其平均值［２～７］，因此： ｍ ＝ 槡３ｘ ｌ ，ｄｍ ＝ 槡３ ｌｄｘ （４） Ｗ（ｘ）ｄｘ ＝ （ ３ ２πｎｌ２） １ ２ ｅ－３ｘ２ ２ｎｌ２ｄｘ （５） 令β ２ ＝ ３ ２ｎｌ２，上式变为式（１），即得高分子链在一维空间投影的几率密度函数。在此基础上，对于三维空间： Ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝ （β 槡π ） ３ ｅ－β ２ｈ ２ ｄｘｄｙｄｚ （６） Ｗ（ｈ）ｄｈ＝ （β 槡π ） ３ ｅ－β ２ｈ ２ ４πｈ２ ｄｈ （７） 然后可以得到： ｈ２ ＝∫ ∞ ０ ｈ２ （β 槡π ） ３ ｅ－β ２ｈ ２ ４πｈ２ ｄｈ＝ ２ 槡πβ ２Γ（５ ２）＝ｎｌ２ （８） 在变量从 ｍ 变成ｘ 之前，尽管数学过程较为复杂，但逻辑严谨，可是在坐标变量转变过程中则存在 两个问题：（１）把ｌｘ的根均方值作为其平均值，这在数学上显然是错误的，因为随机数平方的平均值并不 等于平均值的平方；（２）从数理统计角度，化学键在ｘ轴的投影不是固定值，ｘ和ｍ 之间不存在一一对应 关系，相同的 ｍ 值可以有不同的ｘ 值，而不同的 ｍ 值可以得到相同的ｘ 值，因此： Ｗ（ｘ）ｄｘ ≠ Ｗ（ｍ）ｌｘｄｍ （９） 对于第一个问题，作者计算表明ｌｘ的平均值为ｌ／２，但将此值代入则得到错误的ｈ２ 结果。第二个问题表明 Ｋｕｈｎ的计算方法不严谨，存在断层。这两个问题也使得学生不可能做到真正的“知其所以然”，而只能是似 懂非懂，不能真正理解高分子链段在空间的分布为什么符合高斯分布，毫无疑问这不利于其对高斯链和高 斯分布概念的深入理解。Ｋｕｈｎ的算法由于同时存在这两个问题，反而使得最终ｈ２ 结果是正确的。 ２ 一维空间投影几率密度函数的求取 中心极限定理是数理统计中的一个基本定理［１２］，是《概率论与数理统计》课程的重要教学内容之一， 第２期 高 分 子 通 报 · １８ ·
.82. 高分子通报 2017年2月 具体描述如下：设X,X,X,.是一列相互独立的随机变量，它们服从相同的分布，E(X)=以，D X)=2.今Y=X,+X,+.+X.则： Y.~N() (10) 事实上，一个化学键1的末端在x轴的投影坐标是一个随机数，而”个自由连接的化学键的末端，即力 在x轴的投影，是这”个随机数的加和，其分布可以由中心极限定理求取。 化学键【末端在x轴投影的方差如下： (.0)P(l,)dll,cos gsingde (11) 也就是Kuhn方法中所谓“步长投影平方的平均值”，因此： E4,)=0,D(L,)=P (12) 代入中心极限定理，有： x一No,) (13) 即： w=(2a)产ed (5) 代入=则变成式(1)，后面求取均方末端距的方法与Kuhn法相同。相对于Kuhn的统计算法，这 种方法步骤简单，不需要Stirling公式及Taylor展开等数学公式，而且逻辑严谨。 在教学实践中，以往按照Kun的“无归行走”方法教学，尽管数学推导过程从略，仅对关键点进行讲 解，比如概率计算、离原点步长m最小变量是2，对Stirling公式及Taylor展开简单介绍，讲授一维空间 的几率密度函数所需时间就需要半节课左右的时间，结果也只是少部分学生能锦似乎“明白”，原因即在 于其数学过程的繁琐，而且该方法存在的缺陷还导致号 不可能真正的完全理解。在最近教学过程中 试采用了新的计算方法讲授，由于数学过程简洁，课堂用时减少10min左右，而且数学过程不存在缺陷 直接利用了学生所学《概奉论与数理统计》知识，这样使学生能够不仅知其然，而且知其所以然。大多数 学生反映能够明晰高分子链末端距分布符合高斯分布的由来，对高斯链概念能够深入理解，而不是知其 然不知其所以然地死记使背。 作者还尝试将中心极限定理用于Kun的计算方法，链末端在x轴投影几率密度函数为 W(z)=W(z,m)W(m)dm (14) 对于某一m值，随机变量1，分为正负两种情况，方差相同，均为反，但期望值互为正负（二和一二）， 此时其规范和x不能利用中心极限定理求取，所以高分子链末端在一维空间投影的几率密度函数(1)不 能由此种方法求取。 3均方末端距概率统计的简单算法 如前所述，末端距是个随机数，其平均值为： 不一++正一辰+正+正 (15) 因为E(h,)=0: =[-Eh,DJF=D(h,) (16) 不同化学键1在x轴的投影1，是独立的，而对于独立的随机数X和Y,其方差具有如下的基本性质：D(X +Y)=D(X)+D(Y),因此： 1014028/1cmki1003-37262017.02011 (C)1994-2020 China Academie Joumal Eleetronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
１０．１４０２８／ｊ．ｃｎｋｉ．１００３－３７２６．２０１７．０２．０１１ 具体描述如下：设 Ｘ１，Ｘ２，.，Ｘｎ，.是一列相互独 立 的 随 机 变 量，它 们 服 从 相 同 的 分 布，Ｅ（Ｘｎ）＝ μ，Ｄ （Ｘｎ）＝σ２，令Ｙｎ＝Ｘ１＋ Ｘ２＋ . ＋ Ｘｎ，则： Ｙｎ ～ Ｎ（ｎμ，ｎσ２） （１０） 事实上，一个化学键ｌ的末端在ｘ 轴的投影坐标ｌｘ是一个随机数，而ｎ个自由连接的化学键的末端，即ｈ 在ｘ 轴的投影，是这ｎ个随机数的加和，其分布可以由中心极限定理求取。 化学键ｌ末端在ｘ 轴投影的方差如下： σ２ ｌｘ ＝∫ ｌ －ｌ （ｌｘ －０）２ Ｐ（ｌｘ）ｄｌｘ ＝∫ π ０ １ ２ｌ２ｃｏｓ２ φｓｉｎφｄφ ＝ １ ３ｌ２ （１１） 也就是 Ｋｕｈｎ方法中所谓“步长投影平方的平均值”，因此： Ｅ（ｌｘ）＝０，Ｄ（ｌｘ）＝ １ ３ｌ２ （１２） 代入中心极限定理，有： ｘ ～ Ｎ（０，ｎｌ２ ３ ） （１３） 即： Ｗ（ｘ）ｄｘ ＝ （ ３ ２πｎｌ２） １ ２ ｅ－３ｘ２ ２ｎｌ２ｄｘ （５） 代入β ２ ＝ ３ ２ｎｌ２ 则变成式（１），后面求取均方末端距的方法与 Ｋｕｈｎ法相同。相对于 Ｋｕｈｎ的统计算法，这 种方法步骤简单，不需要Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式及 Ｔａｙｌｏｒ展开等数学公式，而且逻辑严谨。 在教学实践中，以往按照 Ｋｕｈｎ的“无归行走”方法教学，尽管数学推导过程从略，仅对关键点进行讲 解，比如概率计算、离原点步长 ｍ 最小变量是２，对 Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式及 Ｔａｙｌｏｒ展开简单介绍，讲授一维空间 的几率密度函数所需时间就需要半节课左右的时间，结果也只是少部分学生能够似乎“明白”，原因即在 于其数学过程的繁琐，而且该方法存在的缺陷还导致学生不可能真正的完全理解。在最近教学过程中尝 试采用了新的计算方法讲授，由于数学过程简洁，课堂用时减少１０ｍｉｎ左右，而且数学过程不存在缺陷， 直接利用了学生所学《概率论与数理统计》知识，这样使学生能够不仅知其然，而且知其所以然。大多数 学生反映能够明晰高分子链末端距分布符合高斯分布的由来，对高斯链概念能够深入理解，而不是知其 然不知其所以然地死记硬背。 作者还尝试将中心极限定理用于 Ｋｕｈｎ的计算方法，链末端在ｘ轴投影几率密度函数为： Ｗ（ｘ）＝∫ ∞ －∞ Ｗ（ｘ，ｍ）Ｗ（ｍ）ｄｍ （１４） 对于某一 ｍ 值，随机变量ｌｘ分为正负两种情况，方差σ２ 相同，均为ｌ２ １２，但期望值互为正负（ｌ ２ 和 －ｌ ２ ）， 此时其规范和ｘ不能利用中心极限定理求取，所以高分子链末端在一维空间投影的几率密度函数（１）不 能由此种方法求取。 ３ 均方末端距概率统计的简单算法 如前所述，末端距ｈ２ 是个随机数，其平均值为： ｈ２ ＝ｈ２ ｘ ＋ｈ２ ｙ ＋ｈ２ ｚ ＝ｈ２ ｘ ＋ｈ２ ｙ ＋ｈ２ ｚ （１５） 因为Ｅ（ｈｘ）＝０： ｈ２ ｘ ＝ ［ｈｘ －Ｅ（ｈｘ）］２ ＝ Ｄ（ｈｘ） （１６） 不同化学键ｌ在ｘ 轴的投影ｌｘ是独立的，而对于独立的随机数 Ｘ 和Ｙ，其方差具有如下的基本性质：Ｄ（Ｘ ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）［１２］，因此： · ２８ · 高 分 子 通 报 ２０１７年２月
第2期 高分子通报 ·83· D(h,)=nD(L,)=n[,-E(L=n (17) 有： -n正+n+n正=n·E++正-l2 (18) 因为在计算过程中假设不同化学键在坐标轴的投影是独立的，因此式(18)只能用于自由连接链均方末端 距的计算。 这种方法数学上极其简单，既用不到方法一中所需的中心极限定理(Kuhn方法中需要Stirling公式 和Tyor展开式)，也用不到后面求取平均值时所需的P函数性质知识，适合数理基础较为薄弱的学生 学习，但是其缺点在于没有得到链段分布的几率密度函数，不利于对高斯链概念的深入理解。 4结论 柔性链不的计算过程中，采用Kuh的统计算法不仅数学过程复杂，而且不够严谨，是一个不可实现 的方法。将中心极限定理应用到高分子链末端几率密度函数的求取中，数学过程极大简化，在教学过程 中不仅可以节约讲述时间，而且学生可以明晰高分子链链段分布符合高斯分布的原因，实现真正的“知其 所以然”，从而加强对高斯继和高斯分布概念的理解。利用方差的基本性质可以极简单地计算高分子链 的,特别适于数理基础薄弱的学生学习。相比Ku的方法，这两种方法不仅对数理基础要求较低， 而且过程严谨，适于不同数理基础的学生学习。 参考文献 体幼期全日无高分子物理第四吸北家：化学主业出版社，2013.26一孕 【4门何曼君，陈维老，董西快，高分子物理，修订版。上海：复旦大学出版社，1990,23一26 L53 马柱，平，徐种德，等。高聚物的结构与性能.第二版.北京科学出版社，1995,51一56 t200210 【8]何曼君.张红东，陈维孝，等.高分子物理.第三版。上海：复且大学出版社，2007,45一48 Bower D1.An Introduction Polymer Cambridge:Cambridge Univerairy. 学出饭社，2013,232 vior.Berlin.Springer.199.2~27 [1王三.张会. [12】杨水发.金大永.苏国忠，等.概率论与数理统计教程.第二板.天律，南开大学出版社，2005.131,113. Discussion on Teaching in Conformational Statistical Algorithm of Polymeric Chains LIU Guo-dong.ZHANG Qing-xin,Qu Xiong-wei (School of Chemical Engineering.Hebei University of Technology.Tianjin 300130.China) statistical theory of polymerie chains understanding of the chain.It is the base of the statistical theory in polymer science.Kuhn's method is the mostly deseribed one in tetbook polymer physics.But the mathematical steps are complex.which is hard to be comprehended by the students.Meanwhile some flaws exist in it which hinders the understanding of the concept of Gaussian chain and has a negative impact on the study of statistical theory of polymer dilute solution and rubber elasticity.The Kuhn's method is modified based on central limit theorem.Two methods for calculating the mean square end-to-end distance are introduced.These methods are coneise and explicit,which are easy to understand and be beneficial for the students to catch on the concept of Gaussian chain. Key words Gaussian chain:Mean distance Statistical algorithm:Central limit theorem 1014028/1cmki1003-37262017.02.01 (C)1994-2020 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnkinet
１０．１４０２８／ｊ．ｃｎｋｉ．１００３－３７２６．２０１７．０２．０１１ Ｄ（ｈｘ）＝ｎＤ（ｌｘ）＝ｎ［ｌｘ －Ｅ（ｌｘ）］２ ＝ｎｌ２ ｘ （１７） 有： ｈ２ ＝ｎｌ２ ｘ ＋ｎｌ２ ｙ ＋ｎｌ２ ｚ ＝ｎ·ｌ２ ｘ ＋ｌ２ ｙ ＋ｌ２ ｚ ＝ｎｌ２ （１８） 因为在计算过程中假设不同化学键在坐标轴的投影是独立的，因此式（１８）只能用于自由连接链均方末端 距的计算。 这种方法数学上极其简单，既用不到方法一中所需的中心极限定理（Ｋｕｈｎ方法中需要 Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式 和 Ｔａｙｌｏｒ展开式），也用不到后面求取平均值时所需的 Γ 函数性质知识，适合数理基础较为薄弱的学生 学习，但是其缺点在于没有得到链段分布的几率密度函数，不利于对高斯链概念的深入理解。 ４ 结论 柔性链ｈ２ 的计算过程中，采用 Ｋｕｈｎ的统计算法不仅数学过程复杂，而且不够严谨，是一个不可实现 的方法。将中心极限定理应用到高分子链末端几率密度函数的求取中，数学过程极大简化，在教学过程 中不仅可以节约讲述时间，而且学生可以明晰高分子链链段分布符合高斯分布的原因，实现真正的“知其 所以然”，从而加强对高斯链和高斯分布概念的理解。利用方差的基本性质可以极简单地计算高分子链 的ｈ２，特别适于数理基础薄弱的学生学习。相比 Ｋｕｈｎ的方法，这两种方法不仅对数理基础要求较低， 而且过程严谨，适于不同数理基础的学生学习。 参考文献： ［１］ 华幼卿，金日光．高分子物理．第四版．北京：化学工业出版社，２０１３，２６～２７． ［２］ ＫｕｈｎＶ Ｗ．ＫｏｌｌｏｉｄＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ，１９３４，６８（１）：２～１５． ［３］ ＦｌｏｒｙＰＪ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＰｏｌｙｍｅｒＣｈｅｍｉｓｔｒｙ．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＣｏｒｎｎｅｌｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９５３，４０２～４０８． ［４］ 何曼君，陈维孝，董西侠．高分子物理．修订版．上海：复旦大学出版社，１９９０，２３～２６． ［５］ 马德柱，何平笙，徐种德，等．高聚物的结构与性能．第二版．北京：科学出版社，１９９５，５１～５６． ［６］ 柯扬船，何平笙．高分子物理教程．北京：化学工业出版社，２００６，２４～２７． ［７］ 彭建邦，何平笙．高分子链构象统计学．合肥：中国科学技术大学出版社，２００６，７～１０． ［８］ 何曼君，张红东，陈维孝，等．高分子物理．第三版．上海：复旦大学出版社，２００７，４５～４８． ［９］ ＢｏｗｅｒＤＩ．ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＰｏｌｙｍｅｒＰｈｙｓｉｃｓ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００２，７２～７５． ［１０］ ＳｔｒｏｂｌＧＲ．ＴｈｅＰｈｙｓｉｃｓｏｆＰｏｌｙｍｅｒｓ：ＣｏｎｃｅｐｔｓｆｏｒＵｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇＴｈｅｉｒＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｎｄＢｅｈａｖｉｏｒ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９６，２６～２７． ［１１］ 王槐三，张会旗，侯彦辉，等．高分子物理教程．第二版．北京：科学出版社，２０１３，２３～２５． ［１２］ 杨永发，金大永，苏国忠，等．概率论与数理统计教程．第二版．天津：南开大学出版社，２００５，１３１，１１３． ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＴｅａｃｈｉｎｇｉｎＣｏｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｌＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ＡｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆＰｏｌｙｍｅｒｉｃＣｈａｉｎｓ ＬＩＵ Ｇｕｏ－ｄｏｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｑｉｎｇ－ｘｉｎ，ＱｕＸｉｏｎｇ－ｗｅｉ （ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｈｅｍｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＣｏｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｐｏｌｙｍｅｒｉｃｃｈａｉｎｓｉｓｅｓｓｅｎｔｉａｌｔｏｔｈｅｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆＧａｕｓｓｉａｎ ｃｈａｉｎ．Ｉｔｉｓｔｈｅｂａｓｅｏｆｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｉｎｐｏｌｙｍｅｒｓｃｉｅｎｃｅ．Ｋｕｈｎ’ｓｍｅｔｈｏｄｉｓｔｈｅｍｏｓｔｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｄｏｎｅｉｎｔｅｘｔｂｏｏｋｓｏｆ ｐｏｌｙｍｅｒｐｈｙｓｉｃｓ．Ｂｕｔｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔｅｐｓａｒｅｃｏｍｐｌｅｘ，ｗｈｉｃｈｉｓｈａｒｄｔｏｂｅｃｏｍｐｒｅｈｅｎｄｅｄｂｙｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ， ｓｏｍｅｆｌａｗｓｅｘｉｓｔｉｎｉｔｗｈｉｃｈｈｉｎｄｅｒｓｔｈｅｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆＧａｕｓｓｉａｎｃｈａｉｎａｎｄｈａｓａｎｅｇａｔｉｖｅｉｍｐａｃｔｏｎｔｈｅ ｓｔｕｄｙｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｐｏｌｙｍｅｒｄｉｌｕｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｒｕｂｂｅｒｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ．ＴｈｅＫｕｈｎ’ｓｍｅｔｈｏｄｉｓｍｏｄｉｆｉｅｄｂａｓｅｄｏｎｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｎｄ－ｔｏ－ｅｎｄｄｉｓｔａｎｃｅａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｃｏｎｃｉｓｅ ａｎｄｅｘｐｌｉｃｉｔ，ｗｈｉｃｈａｒｅｅａｓｙｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄａｎｄｂｅｂｅｎｅｆｉｃｉａｌｆｏｒｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｃａｔｃｈｏｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆＧａｕｓｓｉａｎｃｈａｉｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓｉａｎｃｈａｉｎ；Ｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｎｄ－ｔｏ－ｅｎｄｄｉｓｔａｎｃｅ；Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ；Ｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍ 第２期 高 分 子 通 报 · ３８ ·