黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第九章 重积分

王士 D2:a≤≤B,0≤rsφ(6) f(rcos 0, rsin e)rdrde B p(6) de f(rcos8, rsin O)rdr 0 D3:0≤6≤27,0≤r≤q(6) (rcos6, sino)rdrde ∫( D3 2丌 q(6) =|d6 f(rose, rsin A)rdr 0 反回

( cos , sin ) . ( )  0      d f r  r  rdr : , D2      0  r  ( ).  2 ( cos , sin ) D f r  r  rdrd  3 ( cos , sin ) D f r  r  rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0      d f r  r  rdr : 0 2 , D3     0  r  ( )

5、二重积分的应用 (1)体积 王在曲面z=(x)与区域D之间直柱体 的体积为 V=ll f(x, y)dxdy 士 r(2)曲面积 设S曲面的方程为:z=f(x,y) 曲面的面积为A=J1+()+()dd; 反回

5、二重积分的应用 (1) 体积 的体积为 在曲面 z  f (x, y) 与区域 D 之间直柱体   D V f (x, y)dxdy. 设S曲面的方程为：z  f (x, y). 曲面S的面积为 1     ; 2 2 A dxdy Dxy y z x z         (2) 曲面积

(3)重心 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D, 在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),假定p(x,y)在 D上连续,平面薄片的重心为 p(x, y)da yp(x, y)do X= J p(x, y)do p(x, y) 当薄片是均匀的,重心称为形心 x=ledo, y= A dl.其中A=」d 上

当薄片是均匀的，重心称为形心. , 1   D xd A x  . 1   D yd A y    D 其中 A d , ( , ) ( , )    D D x y d x x y d x     . ( , ) ( , )    D D x y d y x y d y     设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D， 在点( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，平面薄片的重心为 (3) 重心

上(4)转动惯量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D, 在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定P(x,y)在 D上连续,平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为 薄片对于κ轴的转动惯量 =∫ y p(x, y)do, D 薄片对于轴的转动惯量 Iv=xp(x,y)do D 反回

薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 ( , ) , 2   D x I y  x y d ( , ) . 2   D I y x  x y d 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D， 在点( x, y)处的面密度为(x, y)，假定(x, y) 在 D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为 (4) 转动惯量

5)引力 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D, 平在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定p(x,y)在 D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点 上M0(0,)0处的单位质点的引力.(a>0) 薄片对z轴上单位质点的引力F={F,F,F}, 士 (x,y)xdo,F=∫ p(x, y)y do B(x2+y2+a2) (x2+y2+a F=-4/』 p(x,y) do ∫为引力常数 d(x +y+a 反回

薄片对 z 轴上单位质点的引力 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D， 在点( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点 (0,0, ) 0 M a 处的单位质点的引力．(a  0) { , , }, F  Fx Fy Fz , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y x F f D x     , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y y F f D y     . ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y F af D z      f 为引力常数 (5) 引力