黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第九章 重积分

性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) 生/(x,)g=(xy+(xya D 性质4若o为D的面积σ=1·d=o D D 性质5若在D上,∫(x,y)≤g(x,y f(x,y)dσsg(x,y)do 王特殊地∫(xys/(x,nd D 反回

性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D  D1  D2 性质４ 若为D的面积 1 .      D D  d d 性质５ 若在D上， f (x, y)  g(x, y) ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d

上性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最 大值和最小值,σ为D的面积,则 mos』(x,y)dosM D (二重积分估值不等式) 性质7设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,σ为D 的面积,则在D上至少存在一点(与,m)使得 ∫(x,y)d=∫(5,m)·σ D (二重积分中值定理) 反回

设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则    D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式） 性质６ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得  f ( x, y)d  f ( ,) D . 性质７ （二重积分中值定理）

4、二重积分的计算 (1)直角坐标系下 [X一型]D:a≤x≤b,a(x)≤y≤a2(x) f(x, y)do 女/2 b f∫(x,y)小 φ1(x) D X-型区域的特点:穿过区域且平行于 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 反回

４、二重积分的计算 D : a  x  b, ( ) ( ). 1 2 ［X－型］  x  y   x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D b a x x f x y d dx f x y dy    X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下

[Y一型]D:c≤y≤d,q(y)≤x≤q2(y) d f(, yao q2( 2 c d f(x, y)dc. q1(y) D Y型区域的特点:穿过区域且平行于轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点 反回

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D d c y y f x y d dy f x y dx    D : c  y  d, ( ) ( ). 1 2 ［Y－型］  y  x   y

王(2)极坐标系下 D1:c≤θ≤B,φ1(6)Sr≤q2(6) 工工 f(rcos 8, sino)rdrde B 92(6) do e f(rcos e, sino)rdr 反回

( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1          d f r  r  rdr  1 ( cos , sin ) D f r  r  rdrd : , D1      ( ) ( ). 1   r   2  （２）极坐标系下