E(i,i(k=E(i,i(-k) 定理对任何m×n矩阵A,必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵 E,0) 00 E, 0 称为矩阵A的标准形。其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数，也即 0 0 以后要讲的矩阵的秩。 定理阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积 证必要性 由前面两定理知，对于n阶方阵A,必存在初等矩阵P,…,P和 Q…,Q,使 E 0 P…RAg…Q =N 00 因A可逆，由可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵可知，标准形N也是可逆矩阵，从 面必定有r=n。于是上式变成P…PAQ…g,=E,即 A=(P…P)E(g…g,)=R…P-g,…g 由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，可得A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。 充分性若有初等矩阵P,…,P，使得A=P…Pn，因初等矩阵均是可逆矩阵， 又可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，故A可逆。 证毕。 推论m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩 阵Q,使 PAO=B 由定理，得出利用初等行变换求逆阵的方法： 由A=P…PR,有P…BPA=E,B…BPE=A,用分块矩阵将两式合 并，P…PP（A:E)=（E:A) 即对n×2n矩阵(A:E)施行初等行变换，当把A化成E时，原来的E就化成了A1。 汤
29 1 Ei jk Ei j k ( , ( )) ( , ( )) . − = − 定理 对任何m n × 矩阵 A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵 0 0 0 ⎛ ⎞ Er ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 0 0 0 ⎛ ⎞ Er ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 称为矩阵 A 的标准形。其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数，也即 以后要讲的矩阵的秩。 定理 n 阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积 证 必要性 由前面两定理知，对于 n 阶方阵 A，必存在初等矩阵 1 s P P ， 和 ", Q ,Q 1 t ， ，使 " 1 1 0 0 0 r s t E P P AQ Q N ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " 因 A 可逆，由可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵可知，标准形 N 也是可逆矩阵，从 面必定有r n = 。于是上式变成 P P AQ Q E s t " " 1 1 = ，即 ( )( ) 1 1 1 11 1 A P P EQ Q P P Q Q s t st 11 1 1 − − − −− − = = " " "" 由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，可得 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。 充分性 若有初等矩阵 1, , P P " m ，使得 AP P = 1" m，因初等矩阵均是可逆矩阵， 又可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，故 A 可逆。 证毕。 推论 m n × 阶矩阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 与 n 阶可逆矩 阵 Q，使 PAQ B = 由定理，得出利用初等行变换求逆阵的方法： 由 1 A P PP l 2 1 − = " ，有 P PPA E l " 2 1 = ， 1 P PPE A l 2 1 − " = ，用分块矩阵将两式合 并， P PP AE l " # 2 1 ( ) ( ) 1 E A− = # 即对n n ×2 矩阵( ) A#E 施行初等行变换，当把A化成E时，原来的E就化成了 1 A−
12 3 例 设A= 21 求A1。 43 123100 12 31 0 0 解 (A:E)= 22101 0 n-2→ 0 5-3折 -2 -5 -21 0 343001 0 -2 61 301 1 0-2 -11 0 1 0 -2 -110 -2 -5 -2 1 0 -) 0 -2 -5 -21 0 - 0 0 -1 -1 -11 0 0 11 1 -1 (1 0 01 1001 -2 2 5→ 0 -203 6 -5 n-2) 0 01 n+25 3-2 -3 0 0111 -1 0011 1 52- 1 3 -2 -3/2 -35/2 1 -1 利用初等行变换求逆矩阵的方法还，可用于求A~B。 .A(AB)=(E:AB) ..(A:B)E:A-B) 3 5 例 求矩阵X,使得AX=B,其中A= 23 2 1 B= 23 43 3 解 若A可逆，则X=AB。 1232 1 0 03 2 (A:B)= 2213 1 0 1 0 2 3 34343 0 011 3 吃
30 例 设 123 221 343 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，求 1 A− 。 解 ( ) 2 1 3 1 2 3 123100 1 2 3 1 00 221010 0 2 5 210 343001 0 2 6 301 r r r r A E − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎯⎯⎯→ −−− ⎝ ⎠⎝ ⎠ −−− # 1 2 3 3 2 ( 1) 1 0 2 1 1 0 1 0 2 11 0 0 2 5 2 1 0 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 11 0 0 1 1 1 1 r r r r r + × − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ −− −− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→ −−− ⎝ ⎠⎝ ⎠ −−− − 2 3 2 1 3 5 2 2 100 1 3 2 1 0 013 2 3 5 0 2036 5 010 3 2 2 0 0 111 1 001 1 1 1 r r r r r + ÷ − + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − − ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ （ ） 1 132 3/2 3 5/2 111 A− ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ∴ =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 利用初等行变换求逆矩阵的方法还，可用于求 1 A B− 。 1 1 1 ( )( ) () ( ) r A AB EAB AB EAB − − − = ∴ ⎯⎯→" ∵# # # # 例 求矩阵 X ，使得 AX B = ，其中 123 25 2 2 1, 3 1 343 43 A B ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ = = ⎝ ⎠ ⎝⎠ 。 解 若 A可逆，则 1 X A B− = 。 12325 100 3 2 ( ) 22131 010 2 3 34343 001 1 3 r A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎯⎯→ − − ⎝ ⎠⎝ ⎠ " #
第二章行列式 行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学 和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本章主要介绍行列式的概 念、性质和计算方法 一、 二阶与三阶行列式 1.二阶行列式的引入 a1x+412x2=b, 用消元法解二元线性方程组 () 021x+a22X32=b2 (2) (1)xazz: a11a22X1+a12a22X2=b,a22, (2）xa2 a12a21x1+a12422X2=b2412 两式相减消去x,得 （a1a2-a12a21）x=b,a22-a12b2; 类似地，消去x,得 (a142-a2a1）x3=ab2-ba1, 当a1a2-a2a1≠0时，方程组的解为 x=60-04,x=ab-41 (3) 411a22-a412421 41142-412421 由方程组的四个系数确定。 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 41412 021022 (4) 表达式a,a2-a242,称为数表(4)所确定的二阶行列式，并记作 an(5)。 421a2 即 12 =41422-012421 a21 422 31
31 第二章 行列式 行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学 和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本章主要介绍行列式的概 念、性质和计算方法. 一、 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 ( ) ( ) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , 1 . 2 ax ax b ax ax b ⎧⎪ + = ⎨ ⎪ + = ⎩ ( ) 22 1 : ×a 11 22 1 12 22 2 1 22 a a x a a x ba + = , ( ) 12 2 : × a 12 21 1 12 22 2 2 12 a a x a a x ba + = , 2 两式相减消去 ，得 x 11 22 12 21 1 1 22 12 2 （ ） a a a a x ba a b − = − ; 1 类似地，消去 ，得 x 11 22 12 21 2 11 2 1 21 （ ） a a a a x a b ba − = − , 11 22 12 21 当 时， aa aa − ≠ 0 方程组的解为 1 22 12 2 11 2 1 21 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 . 3 ba a b a b ba x x aa aa aa aa − − = = − − ， （） 由方程组的四个系数确定。 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 11 12 21 22 (4) a a a a 表达式 11 22 12 21 aa aa − 称为数表（4）所确定的二阶行列式，并记作 11 12 21 22 a a a a （5）。 即 11 12 11 22 12 21 21 22 a a aa aa a a = −
2.二阶行列式的计算一对角线法则 =411422-412421 主对角线，次对角线 对于二元线性方程组 4X1+a2x3=b, a21x+a22x2=b2 若记 D= anan 一系数行列式 a21a22 aux+a2x2=b, a21x+a22x2=b2 51 a12 D.=b: aux+a2x2 =b, a21x1+a22X3=b2 D2= b b 则二元线性方程组的解为 b 42 an b D a21b2 an 2= 412 D a21 a22 a21a22 注意 分母都为原方程组的系数行列式。 例求解二元线性方程组 3x1-2x2=12, 2x+x2=1. 解0--(4-70 n-.%-月-2 32
32 2. 二阶行列式的计算——对角线法则 11 12 11 22 12 21 21 22 a a aa aa a a = − 主对角线，次对角线 对于二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . ax ax b ax ax b ⎧ + = ⎨ ⎩ + = 若记 11 12 21 22 , a a D a a = ——系数行列式 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . ax ax b ax ax b ⎧ + = ⎨ ⎩ + = 1 12 1 2 22 , b a D b a = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . ax ax b ax ax b ⎧ + = ⎨ ⎩ + = 11 1 2 21 2 a b D a b = 则二元线性方程组的解为 1 12 11 1 1 2 2 22 21 2 1 2 11 12 11 12 21 22 21 22 , . ba a b D D ba a b x x D D aa aa aa aa == == 注意 分母都为原方程组的系数行列式。 例 求解二元线性方程组 1 2 1 2 3 2 12, 2 1. x x x x ⎧ − = ⎨ ⎩ + = 解 3 2 3 ( 4) 7 0 2 1 D − = = −− = ≠ 1 12 2 14 1 1 D − = = ， 2 3 12 21 2 1 D = =−
x1= 0-4=2,5===-3 D 7 3.三阶行列式 设有9个数排成3排3列的数表 411412413 a21a22a23 as a32 a3s 记 ar 412 a13 =411422a33+a12423031+%1302102 d 022 023 -a11a23a2-a12a21433-a1302031, asl a32 a33 上式称为数表所确定的三阶行列式。 4.对角线法则 a14203+a12a23431+a13021a2 3422a431-a12a21033-a411a2302 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其 中三项为正，三项为负。 5.利用三阶行列式求解三元线性方程组 aux+a2x2+a3x3=b, 如果三元线性方程组 a2x+a22x2+a23x3=b2, a31X1+a23+a33X3=b3; an 412 a3 的系数行列式D= a2 02 a23 ≠0， as a32 a33 b a2 a13 a b a3 a a12 若记D,=b, a22 023 D2= az b2 a23 D3= 2 a2 b; 92 a33 a31 b3a33 as 92 则三元线性方程组的解为： D x= 9 ,3= D D D D 33
33 1 2 1 2 14 21 2, 3. 7 7 D D x x D D − ∴ = = = = = =− 3. 三阶行列式 设有 9 个数排成 3 排 3 列的数表 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 记 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31, aaa aaa aaa aaa aaa aaa = + + −−− 上式称为数表所确定的三阶行列式。 4. 对角线法则 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 11 22 33 12 23 31 13 21 3 13 22 31 12 21 33 11 23 32 2 aaa aaa aaa −− − aaa aaa aaa =++ 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。 说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其 中三项为正,三项为负。 5. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , ; ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b ⎧ ++= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ ++= 的系数行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 aaa Da a a aaa = ≠ ， 若记 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 ba a Dba a ba a = ， 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 a ba D a ba a ba = ， 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 aab Daab aab = ， 则三元线性方程组的解为： 1 2 3 12 3 , , D D D xx x DDD ===