§22离散型随机变量及其概率分布 ●泊松分布的概率最大值问题 与二项分布的求解方法类似,先找极大值点,它应满足 如下不等式组 2 e 1)P区X=R二7体k-m≈=P=k1 e 2)PX==≥e=P(X=k+} k!(k+1) 由1)得kλ由2得心-1 三种分布之间的关系 (1)0-1分布考察一次试验中 联立1)和2)有-1≤k1 两个可能结果的概率 ●当为整数时, (2)二项分布是把以上试验独 立重复进行n次,考察出现某 k=和λ一1时取得最大值 个结果的次数的概率,n= 当为非整数, 1时即是结果0-1分布 (3)泊松分布考察一段时间内 k=[4时取得最大值 某一事件发生的次数的概率
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 泊松分布的概率最大值问题 – 与二项分布的求解方法类似，先找极大值点，它应满足 如下不等式组 – 1）P{X=k}＝ ≥ ＝P{X=k-1} – 2）P{X=k}＝ ≥ ＝P{X=k+1} – 由1）得k≤λ 由2得k≥λ-1 – 联立1）和2）有λ－1≤k≤λ ⚫ 当λ为整数时， – k＝λ和λ－1时取得最大值 ⚫ 当λ为非整数， – k＝[λ]时取得最大值 27/ k! e k − k! e k − ( 1)! 1− − − k e k ( 1)! 1 + + − k e k 三种分布之间的关系： (1) 0－1分布考察一次试验中 两个可能结果的概率 (2) 二项分布是把以上试验独 立重复进行n次，考察出现某 一个结果的次数的概率，n＝ 1时即是结果0－1分布 (3) 泊松分布考察一段时间内 某一事件发生的次数的概率
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●泊松定理(针对稀有事件) (用泊松分布来逼近二项分布的定理) ●设>0是一个常数,n是任意正整数,设pn=1,则对于任 意固定的非负整数k,有 limp u-P,y" 当n≥10,p≤0,1 n→00 k! ≤5时:二项分布≈ ●证由n=1mn,有 泊松分布。 当试验次数n很大时 nk稀有事件4发生的次 pn(1-pn)=mn-1)!n=k+(2(1-2 数可以近似用泊松分 n 布来描述,而A=p 为n次中A发生的平 k-11)1-2)|均次数 k 对任意固定的k,当n趋近于无穷大时,上式第二项极限为1,第三 项是自然对数极限为e,最后一项极限为1,所以定理成立。 n=是常数,当n很大时P必定很小,所以当n很大,P1很小时, 可用泊松分布来近似二项分布。 28/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 泊松定理(针对稀有事件) – (用泊松分布来逼近二项分布的定理) ⚫ 设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设npn ＝λ，则对于任 意固定的非负整数k，有 ⚫ 证 由pn ＝λ/n，有 ＝ ＝ – 对任意固定的k，当n趋近于无穷大时，上式第二项极限为1，第三 项是自然对数极限为e --λ，最后一项极限为1，所以定理成立。 – npn ＝λ是常数，当n很大时pn必定很小，所以当n很大，pn很小时， 可用泊松分布来近似二项分布。 28/ ! lim ( ) k e p p k n k n k n k n n − − → − = 1 n k n k pn p k n − − (1 ) k n k k n n n n n k − − − − + 1 1 1 ! ( )( ) n k k n n n k k n − − − − − − 1 1 1 1 1 [1 (1 ) ( )] ! 当n≥10, p≤0.1, np≤5时：二项分布≈ 泊松分布。 当试验次数n很大时， 稀有事件A发生的次 数可以近似用泊松分 布来描述，而=np 为n次中A发生的平 均次数
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●历史上 Poisson分布是作为二项分布的一种近似, 其前提是二项分布是稀有事件 ●而二项分布的真正极限分布是正态分布见中心极 限定理) 于1837年由法国数学家 S.D. Poisson(1781~ 1840年)引入。 ●近些年来,人们发现该分布在物理学及社会生活中 对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 历史上Poisson分布是作为二项分布的一种近似， 其前提是二项分布是稀有事件 ⚫ 而二项分布的真正极限分布是正态分布(见中心极 限定理) ⚫ 于1837年由法国数学家S.D.Poisson（1781 ～ 1840年）引入。 ⚫ 近些年来，人们发现该分布在物理学及社会生活中 对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用 29/
S22离散型随机变量及其概率分布多 (四)超几何分布,抽样检查,无放回抽样 产品抽样检查中,假定在N件产品中有D件不合格品,即不合格率 p=DN。随机抽n件做检查,发现k件不合格品的概率为超几何分布 P(Xk=CkDCn-kN-D"N, (k=0, 1,. min(n, D)) 通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无 放回抽样。 数学上不难证明,N趋近无穷时 P(X=k)= CKpC-KN-D/C近似为b(n2p)(二项分布) 因此,在实际应用时,当N10n时,可用二项分布近似描述不合格 品个数,当实验次数足够多的时候,不放回抽样可近似为放回抽样, 而如果放回抽样则刚好满足二项分布,P=废品率DN 30/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 • (四) 超几何分布，抽样检查，无放回抽样 – 产品抽样检查中，假定在N件产品中有D件不合格品，即不合格率 p=D/N。随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为超几何分布 – 通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无 放回抽样。 – 数学上不难证明，N趋近无穷时 – P(X=k)=Ck DCn-k N-D/Cn N近似为b(n,p) (二项分布) – 因此，在实际应用时，当N≥10n时，可用二项分布近似描述不合格 品个数 ，当实验次数足够多的时候，不放回抽样可近似为放回抽样， 而如果放回抽样则刚好满足二项分布，p=废品率D/N 30/ P(X=k)=Ck DCn-k N-D/Cn N,(k=0,1,… min{n, D})
S22离散型随机变量及其概率分布多 假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数λ=3的泊 松分布,求 (1)每小时恰有4次呼叫的概率 Matlab实验 (2)一小时内呼叫不超过5次的概率 (3)画出分布律图像 3 (1)P(X=4)= e 4! (2)P(Xs5)=∑P(X=k)=∑,e3 k=0 在 Matlab中输入以下命令: IpI= poisspdf(4, 3) (2)p2= poisscdf(5, 3) (3)x=0: 1: 20;=poisspdf(x, 3);plot(x, y) 31/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数=3的泊 松分布，求 – (1) 每小时恰有4次呼叫的概率 – (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率 – (3) 画出分布律图像 31/ 3 4 4 4! 3 4! (1) ( 4) − − P X = = e = e = − = = = = 5 0 3 5 0 ! 3 (2) ( 5) ( ) k k k e k P X P X k 在Matlab中输入以下命令： (1)p1= poisspdf(4,3) (2)p2= poisscdf(5,3) (3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y) Matlab实验