§22离散型随机变量及其概率分布 ●首先看一下事件在某指定k次试验中发生,比如在第i1, i2,…,i次试验中A发生,而其余n一k次试验中不发生的 概率。由于这n次试验是相互独立的,则相应概率为 p"p.p(1-p)(1-p).(1-p)=p(1-p)-k 1122 ●这样的指定方式共有C种两两互不相容的方式(两两不同 的方式) ●因此n次试验中事件A发生k次的概率为C(1-p)-k,令 q=1-p有 P(X=k=ck p*q-k,k=0,1,.,n
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 首先看一下事件A在某指定k次试验中发生，比如在第i1， i2，...，ik次试验中A发生，而其余n－k次试验中不发生的 概率。由于这n次试验是相互独立的，则相应概率为 – p•p•...•p•(1－p)•(1－p)•...•(1－p)＝p k (1－p) n－k – i1 i2 ... ik ⚫ 这样的指定方式共有 种两两互不相容的方式（两两不同 的方式） ⚫ 因此n次试验中事件A发生k次的概率为 p k (1－p) n－k，令 q＝1－p有 – P{X=k}＝ p kq n－k ，k＝0，1，...，n 17/ k Cn k Cn k Cn
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●分布律的两个条件的验证: PX=8=Cp-0,k=0,1,2,…,Ⅱ 而∑P{X=l}=∑C kk n-k (p+q)”= 0 即非负性和归一性均满足 所以PX=}=Cpq-k,k=0,1,…,m即为所求 分布 由于py-恰好是(p+q)的二项展开式中出现p的那一项, 故称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为 X~b(n,p),n=1时化为(0-1)分布 18
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 分布律的两个条件的验证： – P{X=k}＝ p kq n－k0，k＝0，1，2，...，n – 而 – 即非负性和归一性均满足 • 所以P{X=k}＝ p kq n－k ，k＝0，1，...，n即为所求 分布 – 由于p kq n－k恰好是(p+q) n的二项展开式中出现p k的那一项， 故称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为 X～b(n，p)，n＝1时化为(0-1)分布 18/ k Cn = − = = = = + = n k k k n k n n n k P X k C p q p q 0 0 { } ( ) 1 k Cn
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●已知Y~b(20,0.2)求Y分布率的值,并划出图形 在 Matlab中输入以下命令: binopdf(10,20,0.2) Matlab实验 x=0:1:20 y=binopdf(x, 20,0.2)0.15 plot(x,y, r) 0.05 结果: ans=0.0020 15 20 y=0.01150.05760.13690.20540.21820.1746 0.10910.05450.02220.00740.00200.0005 0.00010.00000.00000.00000.00000.0000 0.00000.00000.0000
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 已知Y~b(20, 0.2)求Y分布率的值，并划出图形 ⚫ 在Matlab中输入以下命令： – binopdf(10,20,0.2) – x=0:1:20; – y=binopdf(x,20,0.2) – plot(x,y, ‘r.’) 19/ 结果： ans = 0.0020 y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0 1 5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Matlab实验
§22离散型随机变量及其概率分布 二项分布中的概率最大项: 先求分布律中的极大值点,它应该满足如下不等式组 1)PX=k=Ckpk- g-k+I=PX=k-13 2)PX=k=ckplg-2Cktlpk+ign-k-l=PX=k+1] 由1)得k(n+1)由2)得k(n+1)p-1 联立1)和2)有(n+1)-1≤k(n+1)p 当(n+1)P为整数时,k=(m+1)和(n+1)-1时取得最大值 当(n+1)为非整数,k=(+1)时取得最大值 二项分布的一般图示:↑rxA 123456789 20/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 二项分布中的概率最大项： 先求分布律中的极大值点，它应该满足如下不等式组 1）P{X=k}＝ p kq n－k p k－1q n－k＋1＝P{X=k-1} 2）P{X=k}＝ p kq n－k p k＋1q n－k－1＝P{X=k+1} – 由1)得k≤(n+1)p 由2)得k≥(n+1)p-1 – 联立1)和2) 有(n+1)p-1≤k≤(n+1)p – 当(n+1)p为整数时，k＝(n+1)p和(n+1)p-1时取得最大值 – 当(n+1)p为非整数，k＝[(n+1)p]时取得最大值 ⚫ 二项分布的一般图示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 20/ P{X=k} k Cn k Cn k−1 Cn k+1 Cn
§22离散型随机变量及其概率分布 例2:近似二项分布 按规定,某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知某一大批产品的一级品率为02,现在随机抽取20只,问20只元 件中恰有k只为一级品的概率是多少? 解 本题是不放回抽样问题,由于元件总数很大,而抽查元件数量远远 小于元件总数,可以近似当作放回抽样来处理。 A:抽取一只元件是一级品P(4)=0.2 如果看作放回抽样,每次检查元件是相互独立的,则检查20只元件 相当于做20重伯努利试验,以X记20只元件中一级品的只数,那么 随机变量X服从二项分布,即X~b(20,0.2)即有 PX=k}=C20280.820-k,k=0,1,2,…,20 21/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 例2：近似二项分布 – 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在随机抽取20只，问20只元 件中恰有k只为一级品的概率是多少？ 解： – 本题是不放回抽样问题，由于元件总数很大，而抽查元件数量远远 小于元件总数，可以近似当作放回抽样来处理。 – A：抽取一只元件是一级品 P(A)＝0.2 – 如果看作放回抽样，每次检查元件是相互独立的，则检查20只元件 相当于做20重伯努利试验，以X记20只元件中一级品的只数，那么 随机变量X服从二项分布，即X～b(20, 0.2)即有 – P{X=k}＝ 0.2k0.820－k ，k＝0，1，2，...，20. 21/ k C20