c存在右手螺旋关系（图1.22）。当AS取某一方向时，极限limN中A·al/AS等于最大值。我们沿此方向取一个欠量，其模等于此最大值，称为A的旋度，记为rotA（或curlA)。当AS取其它方向时，上面极限为rotA在AS上的投影。因此，我们有$Adllim-rot,A(1. 49)AS其中rotnA是rotA在△S上（即nL）的投影。dyASTotAA.1AS图1.23在直角坐标系中计算rotA图1.22A沿州合路径的环流由此可见，我们所求的“漩涡强度”乃是一个矢量。某点的游涡强度不仪决定于该点环流的大小，而且也决定于环流的方向。旋度也和矢量的散度一样，是矢量在空间变化的一种描绘，它包含着矢量对某些空间坐标的导数。现在我们来推导在直角坐标系内rotA的表达式。由旋度的定义，可以看到(1.49)式中的极限与所取面元的形状无关。我们在M点附近先取一个平行于302面的矩形面元（图1.23)，则面元失量与轴平行，其模用AS.表示。设M点的A-=aA,+a,A+aA则A沿c的积分为f, Adl-f, Ady+ f, A.dz--j,A,dy --f,Adz=A,dy +(s.+ Aan )a-25
+az ay --hdzA+aAzayd.aAyldydz20故$ A·dlaA_aA(:AS,-dydz)imoAs.ay32根据上述，此极限是rotA在AS，上的投影，也即rotA在a轴上的投影。相似地，我们取面元AS、AS。分别平行于y轴和轴，与上面相同的运算得到f.A.dl3A._3A.imAs,32aa$A.dlaA,_as.limAs.aaay它们分别是rotA在y轴上和≥轴上的投影。因此，我们得到(2A.- 2A) +a,(S:(3A.34.)(2A--4) + a.(grotA=a,()3z1x(1. 50)或者采用记号V×A，按下式计算a8,aOaEVXA-(1. 51)daJyazAtA,A圆柱坐标系和球坐标系中rotA的展开式见附录。旋度的概念已如上述。rotA和A之间还有一个重要的积分关系，在场的分析中经常用到。这就是26
A.dl:rotA.as(1.52)其中S是回路所包围的面积。上式称为斯托克斯定理，其证明如下。把S分成许多面元，如图1.24中dSi、dS2、所示。对每一个这样的面元，我们沿包围它的闭合回路取A的环流，取积分的方向和大回路℃一致，并将所有这些积分相加。可以看出，各个小回路在公共边上的那部分积分都互相抵消，因为相邻小回路在公共边界上积分的方向是相反的。只有没有公共边界的部分没有抵消，结果所有沿小回路积分的总和等于沿大回路c的积分。Tas.ds图1.24中A·d的计算PA·ddAdl+ $A.dl+...对于沿每一小回路的积分，应用旋度的定义（1.49式)，可得.A-dl-rotnAdS,=totA-dsiJCfe A-dl=rot,AdS,=rotA.ds这样.+A.dl --rotA.ds+- rotA.dS,+..右边的总和可以表示为一个面积分，即rotA-ds,因而得到*27通
A.dl--rotA.ds现在我们回到静电场，求电场强度E的旋度。在上节中看到，在静电场中E沿任意闭合路径的环流恒为零。对于一个大的回路如此；对于一个包围面元的小回路也是如此。当取极限lim+E.0dl/As时，我们得到的极限也总是等于零的。这表示rotE在△S上的投影恒为零。因为△S是任意的，在任意方向上的投影为零表明矢量rotE本身为零。故得TOtE=V×E=0(1.53)所以静电场是无旋度的场。静电场的无旋性是静电场的环流为零在点上的反映。静电场的环流为零意味着静电场是位场，rotE=0也同样说明静电场是位场。从数学中我们也知道，如果一个欠量可以用一个标量的梯度代替时，此矢量必定是无旋的。既然E=，则必有×E=0(因为V×VΦ=0)，两者是等效的。总结真空中的静电场的基本性质如下：积分形式微分形式$ E-ds -.E!divEeED0(1.54)$E.dl=0rotE=0 (E=-grad@)上面的方程称为静电场的基本方程。前面指出，对于一个欠量场，需要从它沿一个闭合面的通最和沿一个闭合回路的环流两方面去了解它。个欠量场的通量和环流反映了场和产生这个场的原因一一我们统称之为“源”一之间的关系。如果从—个闭合面穿出的失量的通量不等于零，则此闭合面内必有产生此通量的源。而如果失量沿一个闭合回路的环流不等于零，此闭合回路必包围了某种产生此环流的源。静电场的环流恒等于零说明静电场-28-
不能由其它原因产生，只能由静止电荷产生。场的基本方程从这两方面总结了场和源之间的关系，所以它是场的基本性质的描述。1.7泊松方程拉普拉斯方程静电场的基本方程（1.54式）提供了在给定电荷下求解电场强度的方程组。但它们是矢量方程，一般情形下，矢量方程处理起来总是比标量方程困难。如果能用标量代替失量，直接求解标量，则问题要简单得多。根据静电场是位场的性质，这是可以做到的。即用电位梯度代替电场强度，在求解中，直接求解电位。现在我们来推导电位的微分方程。将E=一V代人V·E=p/e中，得0V (VΦ)= Eo左边是梯度的散度，用√@表示，得到0=-e(1. 55)称为电位的泊松方程。√是一个二阶微分算符，在直角坐标中，@表示如下的运算7?@ :=V. (V@)++a.la.a+(a&+a%+a.)(a+a, +a. %)+(1. 56)+o2+322aa(圆柱坐标系和球坐标系中?@的表达式列在附录中。）对于没有电荷的空间（p=0)，（1.55)式变为V20=0(1, 57)称为拉普拉斯方程。求解真空中的静电问题，如果直接求解Φ时，都是求泊松方程或拉普拉斯方程的解。求解的方法在第四章中.29