、例题精解 【例题31】在R、L、C元件串联的电路中,已知R=3092,L=127mH,C=40uF, 电源电压=220√2sin(314+20°)V。(1)求感抗、容抗和阻抗:(2)求电流的有效值 与瞬时值i的表达式;(3)求功率因数cosq;(4)求各部分电压的有效值与瞬时值的表 达式;(5)作相量图;(6)求功率P、Q和S 【解】(1)X1=0L=314×127×10-3=4092 OC314×40×10 2=VR2+(x1-x)2=02+(40-8)2=50 (2)U_220 =44A arctan arctan 53 =442sin(3141+20°+53)=442sin(3141+73°)A (3)cosq=cos(-53°)=06 (4)U=R=44×30=132V u2=132v2sin(314+73)V U1=X1=44×40=176V 1=176√2sin(314+73+90°)=176√2sin(314+163°)V Uc=lXc=44×80=352V n=352√2sin(3144+73°-90°)=3522sin(314-17°v 显然,U≠UR+U1+UC (5)相量图如图3.1所示。 (6) P=UI cos o 220×44×0.6 580.8W O=Ul sin= 220×44×sin(-53°)= 8)= 7744var(容性) S=UI=220×44=968VA 图3.1例题3.1的图 【例题3.2】试用相量(复数)计算上例中的电流/和各部分电压UR、U1及Uc 解】 U=220∠20V z=R+j(X1-Xc)=30+j(40-80)=30-j40=50∠-53
27 一、例题精解 【例题 3.1】在 R、L、C 元件串联的电路中，已知 R = 30Ω , L =127mH, C = 40µF， 电源电压 220 2 sin(314 20 ) o u = t + V。(1) 求感抗、容抗和阻抗；(2) 求电流的有效值 I 与瞬时值 i 的表达式；(3) 求功率因数cosϕ ；(4) 求各部分电压的有效值与瞬时值的表 达式；(5) 作相量图；(6) 求功率 P、Q 和 S。 【解】 (1) = = × × = Ω − 314 127 10 40 3 X L ωL = + − = + − = Ω = Ω × × = = − ( ) 30 (40 80) 50 80 314 40 10 1 1 2 2 2 L C 2 C 6 Z R X X C X ω (2) = = = 4.4Α 50 220 Z U I = + + = + Α = − − = − = 4.4 2 sin(314 20 53 ) 4.4 2 sin(314 73 ) 53 30 40 80 arctan arctan L C o o o o i t t R X X ϕ (3) cos = cos(−53 ) = 0.6 o ϕ (4) UR = IR = 4.4 × 30 =132V 352 2 sin(314 73 90 ) 352 2 sin(314 17 )V 4.4 80 352V 176 2 sin(314 73 90 ) 176 2 sin(314 163 )V 4.4 40 176V 132 2 sin(314 73 )V C C L L L R o o o o o o o = + − = − = = × = = + + = + = = × = = + u t t U IX u t t U IX u t 显然，U ≠ UR + UL + UC 。 (5) 相量图如图 3.1 所示。 (6) P =UI cosϕ = 580.8W 220 × 4.4 × 0.6 = Q =UI sinϕ = 774.4 var( ) 220 4.4 ( 0.8) 220 4.4 sin( 53 ) − 容性 × × − = × × − = o S =UI = 220 × 4.4 = 968VΑ 图 3.1 例题 3.1 的图 【例题 3.2】 试用相量（复数）计算上例中的电流 I & 和各部分电压UR & 、UL & 及UC & 。 【解】 220 20 V o U& = ∠ = + − = + − = − = ∠ − Ω o j( ) 30 j(40 80) 30 j40 50 53 Z R X L X C o 17 o 20 o 73 I & UR & U& UL & UL UC & + & UC &
电工学试题精选与答题技巧 U220∠2 4.4∠73°A 50∠-53 Ua=/R=44×30∠73=132∠73V UL=jL1=144×40∠73°=176∠163V Uc=-jXc=-4x80∠73°=352∠-17V 【例题3.2】图32(a)为RC移相电路。已知电阻R=1009,输入电压1的频率为 500Hz。如要求输出电压2的相位比输入电压的相位超前30°,则电容值应为多少? 【解】电路的相量图如图32(b)所示,由相量图可以看出 或者 R a)电路图 (b)相量图 图3.2例题3.3的图 因为 于是 OCR 即 OCR=√3 所以 C o22mfR2x×500100=52×10°F=552uF 【例题34】在图3.3(a)中,已知电源电压U=100∠0°,R1=R2=X1=Xc=50g2 试求Ua 【解】(1)用相量图求解:以电源电压U为参考相量,作出的相量图如图3.3(b)所 从相量图上可以看出,在数值上U=U=100V,在相位上Uab滞后U90°。所以, (2)用复数计算求解 100∠0° 100∠0° Ic 50-j50502+502∠-45° =√2∠45°A Xc=-j√2×50∠45°=50V2 U=U1=jX1=ⅳ2×50∠-45°=50√2∠45V 50√2∠-45°-50√2∠45
28 电工学试题精选与答题技巧 j j4.4 80 73 352 17 V j j4.4 40 73 176 163 V 4.4 30 73 132 73 V 4.4 73 50 53 220 20 C C L L R o o o o o o o o o & & & & & & & & = − = − × ∠ = ∠ − = = × ∠ = ∠ = = × ∠ = ∠ = ∠ Α ∠ − ∠ = = U IX U IX U IR Z U I 【例题 3.2】 图 3.2(a)为 RC 移相电路。已知电阻 R =100Ω ，输入电压 1 u 的频率为 500Hz。如要求输出电压 2 u 的相位比输入电压的相位超前 o 30 ，则电容值应为多少? 【解】 电路的相量图如图 3.2(b)所示，由相量图可以看出 o tan30 2 C = U U 即 o tan30 C = IR IX 或者 o tan30 C = R X (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.2 例题 3.3 的图 因为 C X ω 1 C = 于是 3 1 tan30 1 = =o ωCR 即 ωCR = 3 所以 R C ω 3 = 5.52 10 F 5.52 2π 500 100 3 2π 3 6 = × = × × = = − fR µF 【例题 3.4】 在图 3.3 (a)中，已知电源电压 100 0 , o U& = ∠ R1 = R2 = X L = X C = 50Ω , 试求Uab & 。 【解】 (1) 用相量图求解：以电源电压U& 为参考相量，作出的相量图如图 3.3 (b)所 示。从相量图上可以看出，在数值上Uab =U =100V ，在相位上 Ua b 滞后 U 90o 。所以， Uab & =-j100V。 (2) 用复数计算求解 j j 2 50 45 50 2 45 V 2 45 50 50 45 100 0 50 j50 100 0 ao C C C 2 2 C o o o o o o & & & & = = − = − × ∠ = ∠ − = ∠ Α + ∠ − ∠ = − ∠ = U U I X I = − = ∠ − − ∠ = = = = × ∠ − = ∠ o o o o & & & & & & 50 2 45 50 2 45 j j 2 50 45 50 2 45 V ab ao bo bo L L L U U U U U I X 50 − j50 − 50 − j50 = −j100V C C u R 2 u1 u i o 30 UC & U2 & I & U&
第三章正弦交流电路 R2 L 图3.3例题34的图相量图 (a)电路图 【例题35】在图34中,已知电源电压U=220∠0°V。试求:(1)等效复阻抗z (2)电流、l1和/2 【解】(1)等效复阻抗 09 Z=50+ (100+j200)(-1400) 100+j200-J400 1009 50+320+j240= 370+j240= 10Q: 40∠33g2 (2)电流 图34例题3.5的图 U220∠0 Z-440∠33 =0.5∠-33A 0.5∠-33 100+200-J40 05∠-33°=089∠-596°A 100+j200 ×0.5∠-33 224∠63.4 224∠-6×0.5∠-33=0.5∠938°A 【例题3.6】图3.5所示的电路是RC振荡电路的一个重要组成部分。试证明当频 率∫=f6 时,输入电压U1与输出电压U2同相,并证明这时 【解】证明:RC串联部分的复数阻抗为 =R+ 1 I+ JORC RC并联部分的复数阻抗为 =Joc R 图3.5例题3.6的图 R I+ JORC
第三章 正弦交流电路 29 (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.3 例题 3.4 的图 【例题 3.5】 在图 3.4 中，已知电源电压 220 0 V o U& = ∠ 。试求：(1) 等效复阻抗 Z ； (2) 电流 I & 、 1I & 和 2 I & 。 【解】 （1）等效复阻抗 = + − + − = + 100 j200 j400 (100 j200)( j400) Z 50 + = + + = 370 j240 50 320 j240 ∠ Ω o 440 33 （2）电流 图 3.4 例题 3.5 的图 × ∠ − = + − − = = ∠ − Α ∠ ∠ = = o o o o & & & 0.5 33 100 j200 j400 j400 0.5 33 440 33 220 0 1I Z U I × ∠ − = ∠ − Α ∠ − ∠ − o o o o 0.5 33 0.89 59.6 224 63.4 400 90 × ∠ − = + − + = & o 0.5 33 100 j200 j400 100 j200 2 I × ∠ − = ∠ Α ∠ − ∠ o o o o 0.5 33 0.5 93.8 224 63.4 224 63.4 【例题 3.6】 图 3.5 所示的电路是 RC 振荡电路的一个重要组成部分。试证明当频 率 RC f f 2π 1 = 0 = 时，输入电压U1 & 与输出电压U2 & 同相，并证明这时 3 1 1 2 = U U 。 【解】 证明：RC 串联部分的复数阻抗为 C RC C Z R ω ω ω j 1 j j 1 3 + = + = RC 并联部分的复数阻抗为 RC R C R C R Z ω ω ω 1 j j 1 j 1 2 + = + = 图 3.5 例题 3.6 的图 50Ω 100Ω j200Ω − j400Ω I & U& 1I & 2 I & L ⋅ I C ⋅ I R1 R2 C L b a ⋅ U ab ⋅ U o 45o 45 a o b UR2 & UR1 & CI & UC & UL & U& Uab & LI & I & R R C C U1 & U2 & U3 &
电工学试题精选与答题技巧 输出电压为 U2=1z2 UZI 1+ joRDi Za+z, 1+ jo RC jc 1+ jo RC (1+joRC)2+joRC 3+JORC 欲使U2与U1同相,上式分母的虚数部分必须为零,即 由此得 f=fo 2丌R 这时 【例题3.7】在图36(a)中,通过调节电阻R,可在ab端获得相位可调的输出电压 U。今已知R在0~1.5k范围内变化,C=150μF,电源电压U=20V,其频率为 50Hz,试求输出电压Uab的大小和移相范围 【解】 b U 2 (a)电路图 (b)相量图 图3.6例题3.7的图 U (-xc) 因为 R-iX 所以 Giro) U(R+xc)U2∠o 2(R-jxc)2|2∠ 式中阻抗 2=R2+x2 IR与U之间的相位差= arctan X R- arctan
30 电工学试题精选与答题技巧 输出电压为 = + + + + = + = = 1 3 2 1 2 2 j 1 j 1 j 1 j U RC R C RC RC R Z Z U Z U IZ & & & & ω ω ω ω ) 1 3 j( (1 j ) j j 1 2 1 RC RC U U RC RC RC ω ω ω ω ω + − = + + & & 欲使U2 & 与U1 & 同相，上式分母的虚数部分必须为零，即 RC RC ω ω 1 = 由此得 RC f f 2π 1 = 0 = 这时 3 1 1 2 = U U 【例题 3.7】 在图 3.6(a)中，通过调节电阻 R，可在 ab 端获得相位可调的输出电压 Uab & 。今已知 R 在 0 ～1.5 kΩ 范围内变化，C = 150μF,电源电压U = 20V ，其频率为 50Hz，试求输出电压 Uab 的大小和移相范围。 【解】 (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.6 例题 3.7 的图 ( j ) 2 ab ae be R X C I U U = U −U = − & − & & & & 因为 C R R jX U I − = & & 所以 − = − = − ( j ) 2 j C C ab X R X U U U & & & ϕ θ ϕ ϕ = ∠ = ∠ ∠ − ∠ = − + ⋅ 2 2 2( j ) 2 2 ( j ) C C U U Z U Z R X U& R X & & & 式中阻抗 2 C 2 Z = R + X RI & 与U& 之间的相位差 R R C X ω ϕ 1 arctan arctan C = = ab ⋅ U b ϕ θ a R1 R a b R1 e R ⋅ U C ⋅ U U& RI & UR & UC & Uab & 2 U& 2 U& U& RI &
第三章正弦交流电路 Un与U之间的相位差 6=2q 由上式可知,当改变电阻R时,输出电压Ua是一个不变恒定的值,即有 2 本题中 当电阻R由零变到无穷大时,q角由900变到零,O角由180°变到零。当电阻R 由零变到1.5k时,Ua的相位从180°减小到: 8=2o=arctan 2 arctan =2×0.8°=1.6 2×50×150×10-6×1.5×103 即在180°~1.6°之间的1784°的范围内移相。 相量图如图36(b所示。由于UR和Uc互相差90°,而其和恒等于电源电压,所以 改变电阻R,k随之改变的同时,b点的轨迹是以一为半径的半圆。Ua的大小等于半 径,它与电源电压之间的相位差θ角随调节电阻的大小而改变,从而达到移相的目的 【例题38】在图37中,已知Z1=20+j1009,2Z2=50+j509,当要求l2滞后 U90°时,电阻R为多大? 【解】 22R212+(21+22) R Z2+R (Z2+r) ZI 于是得 zz122+(Z1+Z2)R 阻抗Z2中的电流 R Z2+R2122+(z1+22)R22+R 图3.7例题3.8的图 UR Z122+(Z1+Z2)R 将已知数代入 UR (20+j100(50+j150)+(70+j250)R UR 70R-15000+1000+j(5000+3000+250 若I2滞后U90°,则分母中实部应等于零,即 70R-14000=0 所以 R=200g2 【例题39】试证明串联谐振频率∫6、通频带宽度Δ=f2-f和品质因数Q之
第三章 正弦交流电路 31 Uab & 与U& 之间的相位差 θ = 2ϕ 由上式可知，当改变电阻 R 时，输出电压 Uab 是一个不变恒定的值，即有 2 ab U U = 本题中 10V 2 20 Uab = = 当电阻 R 由零变到无穷大时，ϕ 角由 90o变到零，θ 角由 180o 变到零。当电阻 R 由零变到1.5kΩ时，Uab & 的相位从 180o 减小到： o o 2 0.8 1.6 2π 50 150 10 1.5 10 1 2arctan 1 2 2arctan 6 3 = × = × × × × × = = = − ωRC θ ϕ 即在 180°~1.6°之间的 178.4°的范围内移相。 相量图如图 3.6(b)所示。由于UR & 和UC & 互相差 90o ，而其和恒等于电源电压，所以 改变电阻 R，IR 随之改变的同时，b 点的轨迹是以 2 U 为半径的半圆。Uab & 的大小等于半 径，它与电源电压之间的相位差θ 角随调节电阻的大小而改变，从而达到移相的目的。 【例题 3.8】 在图 3.7 中，已知 Z1 = 20 + j100 Ω , Z2 = 50 + j150 Ω，当要求 2 I & 滞后 U& 90o 时，电阻 R 为多大? 【解】 Z R Z Z Z Z R Z R Z R Z Z Z R Z + + + = + = + = + 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 设 o &U =U∠0 于是得 Z Z Z Z R U Z R Z U I ( ) ( ) 1 2 1 2 2 + + + = = & & & 阻抗 Z2 中的电流 = + = I Z R R I & & 2 2 = + + + + Z R R Z Z Z Z R U Z R 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) & 图 3.7 例题 3.8 的图 Z Z Z Z R UR ( ) 1 2 + 1 + 2 & 将已知数代入 70 15 000 1 000 j(5 000 3 000 250 ) (20 j100)(50 j150) (70 j250) 2 R R U R R U R I − + + + + = + + + + = & & & 若 2 I & 滞后 o &U90 ，则分母中实部应等于零，即 70R −14000 = 0 所以 R = 200Ω 【例题 3.9】 试证明串联谐振频率 0f 、通频带宽度 2 1 ∆f = f − f 和品质因数 Q 之 Z1 Z2 R I & U& 2 I & 1I &