《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5状态观测器 在42节中介绍控制系统设计的极点配置方法时,曾假设所有的状态变量均可有效地用 于反馈。然而在实际情况中,不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用 的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量,因为噪声通常 比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使 信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计 通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置(或计算机程序)称为状态观测器,或简称观 测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接测量,这种状态观 测器均称为全维状态观测器。有时,只需观测不可测量的状态变量,而不是可直接测量的状 太态变量。例如,由于输出变量是能观测的,并且它们与状态变量线性相关,所以无需观测 所有的状态变量,而只观测n-m个状态变量,其中n是状态向量的维数,m是输出向量的维 估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称 为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或 最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1引言 状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。在3.7节讨论的能观测性概念 有重要作用。正如下面将看到的,当且仅当满足能观测性条件时,才能设计状态观测器 在下面关于状态观测器的讨论中,我们用x表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中,将被观测的状态向量用于状态反馈,以产生所期望的控制向量。 考虑如下线性定常系统 x= Ax+Bu y=Cx 假设状态向量x由如下动态方程 x= Ax+ Bu+K(v-C (4.29) 中的状态x来近似,该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为y和u,输出为x。 式(429)的右端最后一项包含被观测输出Cx之间差的修正项。矩阵K起到加权矩阵的 作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B 之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差异,该附加的修正项将减小这些影响 图45所示为系统和全维状态观测器的方块图
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 1 4.5 状态观测器 在 4.2 节中介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用 于反馈。然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用 的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常 比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使 信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计 通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观 测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接测量，这种状态观 测器均称为全维状态观测器。有时，只需观测不可测量的状态变量，而不是可直接测量的状 太态变量。例如，由于输出变量是能观测的，并且它们与状态变量线性相关，所以无需观测 所有的状态变量，而只观测 n-m 个状态变量，其中 n 是状态向量的维数，m 是输出向量的维 数。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称 为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或 最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 引言 状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。在 3.7 节讨论的能观测性概念 有重要作用。正如下面将看到的，当且仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。 在下面关于状态观测器的讨论中，我们用 x ~ 表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中，将被观测的状态向量用于状态反馈，以产生所期望的控制向量。 考虑如下线性定常系统 x = Ax + Bu (4.27) y = Cx (4.28) 假设状态向量 x 由如下动态方程 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − (4.29) 中的状态 x ~ 来近似，该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为 y 和 u，输出为 x ~ 。 式（4.29）的右端最后一项包含被观测输出 C x ~ 之间差的修正项。矩阵 Ke 起到加权矩阵的 作用。修正项监控状态变量 x ~ 。当此模型使用的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的矩阵 A 和 B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差异，该附加的修正项将减小这些影响。 图 4.5 所示为系统和全维状态观测器的方块图
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中 的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中,假设在此模型中使用的矩 阵A和B与实际系统使用的相同。 图45全维状态观测器方块图 4.5.2全维状态观测器 在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(427)和(428)定 义。观测器方程由式(429)定义。 为了得到观测器的误差方程,用式(427)减去式(429),可得 AX-K2(Cx-(x)=(A-K2C(x-x)(4.30) 定义x和x之差为误差向量,即 x 则式(430)改写为 (A-K. C)e (4.31) 由式(431)可看出,误差向量的动态特性由矩阵A-KC的特征值决定。如果矩阵A-KC 是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e(ω),误差向量都将趋近于零。也就是说,不管x(0) 和x(O)值如何,x(t)都将收敛到x()。如果所选的矩阵A-KC的特征值使得误差向量的动 态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。 如果系统是完全能观测的,则可证明可以选择K。使得A-KC具有任意所期望的特 征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵K,,以产生所期望的矩阵A-KC下面讨论 2
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 2 下面将详细讨论用矩阵 A 和 B 以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其中 的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中，假设在此模型中使用的矩 阵 A 和 B 与实际系统使用的相同。 图 4.5 全维状态观测器方块图 4.5.2 全维状态观测器 在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（4.27）和（4.28）定 义。观测器方程由式（4.29）定义。 为了得到观测器的误差方程，用式（4.27）减去式（4.29），可得 ) ~ ) ( )( ~ ( ~ ~ x x Ax Ax K Cx Cx A K C x x − = − − e − = − e − (4.30) 定义 x 和 x ~ 之差为误差向量，即 e x x ~ = − 则式（4.30）改写为 e A K C e e = ( − ) (4.31) 由式（4.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵 A - KeC 的特征值决定。如果矩阵 A -KeC 是稳定矩阵，则对任意初始误差向量 e (0)，误差向量都将趋近于零。也就是说，不管 x (0) 和 x ~ (0)值如何， ( ) ~ x t 都将收敛到 x (t)。如果所选的矩阵 A - KeC 的特征值使得误差向量的动 态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。 如果系统是完全能观测的，则可证明可以选择 Ke 。使得 A - KeC 具有任意所期望的特 征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵 Ke ，以产生所期望的矩阵 A - KeCo 下面讨论
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 这个问题。 4.5.3对偶问题 全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵K,使得由式(4.31)定义的误 差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KC的特征值决定)。因此,全维观测的设计就变为确定一个合适的K。,使得A-KC具有 所期望的特征值。因而,全维状态观测器的设计问题就变成与42节讨论的极点配置问题相 考虑如下的线性定常系统 dx+ Bu y=Cx 在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统 A'=+C'L 的极点配置问题。假设控制输入为 K 如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得矩阵A-CK 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,凵n是期望的状态观测器矩阵特征值,则通过取相同的μi作为对偶系 统的状态反馈増益矩阵的期望特征值,可得 (A1-CK)=(s-1XS-2) 注意到A-CK和A-KC的特征值相同,可得 K)=sl-(A-K C) 比较特征多项式s-(4-KC)|和观测器系统(参见式(4.31)的特征多项式 S-(A-KC),可找出K和K的关系为 K=K 因此,采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵κ,原系统的观测器增益矩阵A,可通过 关系式K。=K确定。 4.5.4可观测条件 如前所述,对于A-KC所期望特征值的观测器增益矩阵K。的确定,其充要条件为 原系统的对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 3 这个问题。 4.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵 Ke ，使得由式（4.31）定义的误 差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KeC 的特征值决定）。因此，全维观测的设计就变为确定一个合适的 Ke ，使得 A-KeC 具有 所期望的特征值。因而，全维状态观测器的设计问题就变成与 4.2 节讨论的极点配置问题相 同， 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu = = + 在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统 n B z z A z C T T T = = + 的极点配置问题。假设控制输入为 = −Kz 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵 K，使得矩阵 A C K T T − 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,μn 是期望的状态观测器矩阵特征值，则通过取相同的μi 作为对偶系 统的状态反馈增益矩阵的期望特征值，可得 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n T T sI − A −C K = s − s − s − 注意到 A C K T T − 和 A K C T − 的特征值相同，可得 sI (A C K) sI (A K C) T T T − − = − − 比较特征多项式 sI (A K C) T − − 和观测器系统（参见式（4.31））的特征多项式 sI (A K C) − − e ，可找出 Ke 和 T K 的关系为 T Ke = K 因此，采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵 K，原系统的观测器增益矩阵 K，可通过 关系式 T Ke = K 确定。 4.5.4 可观测条件 如前所述，对于 A - KeC 所期望特征值的观测器增益矩阵 Ke 的确定，其充要条件为： 原系统的对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) A*=+C 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的条件是 IC:A"C 的秩为n。这是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的完全能观测性条件。这意味着。由式 (4.27)和(4.28)定义的系统的状态观测的充要条件是系统完全能观测 下面将介绍解决状态观测器设计问题的直接方法(而不是对偶问题的方法),采用对偶 问题的方法来确定求观测器增益矩阵K的爱克曼公式。 4.5.5全维状态观测器的设计 考虑由下式定义的线性定常系统 x=Ax+ Bu y 式中,x∈R",u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R。假设系统是完全能观测的, 又设系统结构如图45所示 在设计全维状态观测器时,如果将式(4.32)和(4.33)给出的系统变换为能观测标准 形就很方便了。如前所述,可按下列步骤进行:定义一个变换矩阵P,使得 P=(R (4.34) 式中R是能观测性矩阵 R=C: A 且对称矩阵W由式(46)定义,即 0 00 0 式中,a,是由式(432)给出的如下特征方程的系数 0 显然,由于假设系统是完全能观测的,所以矩阵WR的逆存在 现定义一个新的n维状态向量5为 Ps (4 则式(4.32)和(4.33)为 S=P AP5+P Bu y=CP5
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4 z = A* z +C*v 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的条件是 [ * * * ( *) * ] 1 C A C A C n− 的秩为 n 。这是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的完全能观测性条件。这意味着。由式 （4.27）和(4.28)定义的系统的状态观测的充要条件是系统完全能观测。 下面将介绍解决状态观测器设计问题的直接方法（而不是对偶问题的方法），采用对偶 问题的方法来确定求观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼公式。 4.5.5 全维状态观测器的设计 考虑由下式定义的线性定常系统 y Cx x Ax Bu = = + (4.32) 式中， n n n n n x R u R y R A R B R C R 1 1 1 1 , , , , , 。假设系统是完全能观测的， 又设系统结构如图 4.5 所示。 在设计全维状态观测器时，如果将式（4.32）和（4.33）给出的系统变换为能观测标准 形就很方便了。如前所述，可按下列步骤进行：定义一个变换矩阵 P，使得 1 ( ) − P = WR (4.34） 式中 R 是能观测性矩阵 [ ( ) ] T T T T T n 1 T R C A C A C − = (4.35) 且对称矩阵 W 由式（4.6）定义，即 = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1 a a a a a a W n n n n 式中， i a 是由式（4.32）给出的如下特征方程的系数 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n sI A s a s a s a 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵 WR 的逆存在。 现定义一个新的 n 维状态向量ξ为 x = Pξ (4.36) 则式（4.32）和（4.33）为 P AP P Bu −1 −1 = + (4.37) y = CP (4.38)
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 式中 0 PAP= b.-ab P-B b, -a, b CP=[00 式(439)到(441)的推导见例47和48。式(437)和(4.38)是能观测标准形。因而 给定一个状态方程和输出方程,如果系统是完全能观测的,并且通过采用式(4.36)给出的 变换,将原系统的状态向量x变换为新的状态向量§,则可将给定的状态方程和输出方程变 换为能观测标准形。注意,如果矩阵A已经是能观测标准形,则Q=l 如前所述,选择由 x=Ax+Bu+K,(y-Cx =(A-K,C)x+ Bu+k Cx 给出的状态观测器的动态方程。现定义 (4.43) 将式(443)代入式(442),有 5=P-(A-K.C)PS +P-Bu+P-K,CPS 用式(4.37)减去式(444),可得 点-=P(A-CP(5-2) 义 则式(445)为 E=P(A-K.C)Pa 要求误差动态方程是渐近稳定的,且ε(ω)以足够快的速度趋于零。确定矩阵K。的步骤,是 先选择所期望的观测器极点(A-KC的特征值),然后确定K。,使其给出所期望的观测 器极点。注意P=WR,可得
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 5 式中 − − − = − − 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a a a P AP n n (4.39) − − − = − − − o n n o n n o b a b b a b b a b P B 1 1 1 1 1 (4.40) CP = [0 0 0 1] (4.41) 式（4.39）到（4.41）的推导见例 4.7 和 4.8。式（4.37）和（4.38）是能观测标准形。因而 给定一个状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（4.36）给出的 变换，将原系统的状态向量 x 变换为新的状态向量ξ，则可将给定的状态方程和输出方程变 换为能观测标准形。注意，如果矩阵 A 已经是能观测标准形，则 Q = I。 如前所述，选择由 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − = A K C x Bu K Cx − e + + e ~ ( ) (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义 ~ ~ x = P (4.43) 将式（4.43）代入式（4.42），有 P A KeC P P Bu P KeCP 1 ~ 1 1 ( ) ~ − − − = − + + (4.44) 用式（4.37）减去式（4.44），可得 ) ~ ( ) ( ~ 1 − = − − − P A KeC P (4.45) 定义 ~ = − 则式（4.45）为 P A K C P e ( ) 1 = − − (4.46) 要求误差动态方程是渐近稳定的，且 (t) 以足够快的速度趋于零。确定矩阵 Ke 的步骤，是 先选择所期望的观测器极点（ A− KeC 的特征值），然后确定 Ke ，使其给出所期望的观测 器极点。注意 P = WR −1 ，可得