《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第二章 线性多变量系统的运动分析

《现代控制理论基础》第二章(讲义) IⅠ设计部分 第二章线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后,本章将讨论线性多变量系统的运动分 析,即线性状态方程的求解。对于线性定常系统,为保证状态方程解的存在性和唯一性,系 统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说,在实际工程中,这个条件是一定满足 的 2.1线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 E: i(o)=Ax(0)+ Bu (2.1) 其中,x(0)∈R",u()∈R,A∈R",B∈R",且初始条件为x)2=xO) 将方程(2.1)写为 (t)-Ax(t)=Bu(1) 在上式两边左乘e,可得 [(o-Axo=le x(=e Bu() 将上式由0积分到t,得 e“x()-xO)=eB(xr 故可求出其解为 x(t)=e"x(0) Bu(r)d 或 x(t)=p(x(0)+ (t-T)Bu(r)dr (2.2b) 式中Φ()=e为系统的状态转移矩阵 对于线性时变系统非齐次状态方程, x(1)=A(1)x(1)+B()a(1) 类似可求出其解为 x(t)=a(t,O)x(0)+o(t, r)B(r)u(r)dr (2.4) 般说来,线性时变系统的状态转移矩阵Φ(L,0)只能表示成一个无穷项之和,只有在

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 1 II、设计部分 第二章 线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分 析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系 统矩阵 A 和输入矩阵 B 中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足 的。 2.1 线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 Σ： x (t) = Ax(t) + Bu(t) (2.1） 其中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  ，且初始条件为 ( ) (0) 0 x t x t = = 。 将方程（2.1）写为 x (t) − Ax(t) = Bu(t) 在上式两边左乘 e -At ，可得 [ ( ) ( )] [e x(t)] e Bu(t) dt d e x t Ax t −At −At −At  − = = 将上式由 O 积分到 t，得    e x t x e Bu d t o At A  − − ( ) − (0) = ( ) 故可求出其解为  − = + t o At A t x t e x e Bu  d  ( ) (0) ( ) ( ) (2.2a) 或  =  +  − t o x(t) (t)x(0) (t  )Bu( )d (2.2b) 式中 At (t) = e 为系统的状态转移矩阵。 对于线性时变系统非齐次状态方程， x (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (2.3） 类似可求出其解为 =  +   t o x(t) (t,0)x(0) (t, )B( )u( )d (2.4) 一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵 ( , ) 0  t t 只能表示成一个无穷项之和，只有在

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 特殊情况下,才能写成矩阵指数函数的形式 2.2状态转移矩阵的性质 定义2.1时变系统状态转移矩阵Φ(t,0)是满足如下矩阵微分方程和初始条件 jd)=4(v4) to,0)= 的解 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质: 1、d(t1,1)=l; 2、Φ(t2,1)(1,t0)=d(t20); 3、Φ(t,t0)=Φ(t0,1); 4、当A给定后,Φ(t,10)唯 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 dp(t,)=I+4()dz+A(1米4(x2)dz21z1+ 上式一般不能写成封闭形式,可按精度要求,用数值计算的方法取有限项近似。特别地, 只有当满足 A(D A(rdr A(rdT A(t) 即在矩阵乘法可交换的条件下,Φ(1,0)才可表示为如下矩阵指数函数形式 p(,1)=exp‖4(r)da 显然,定常系统的状态转移矩阵Φ(t-l0)不依赖于初始时刻l,其性质仅是上述时变 系统的特例。 [例2.1]试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵Φ(t)和状态转移矩阵的逆Φˉ(t)。 [解]对于该系统 2

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 2 特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。 2.2 状态转移矩阵的性质 定义 2.1 时变系统状态转移矩阵 ( , ) 0  t t 是满足如下矩阵微分方程和初始条件     =  =  t t I t t A t t t ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0  (2.5) 的解。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 1、 (t,t) = I ； 2、 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 1 0 2 0  t t  t t =  t t ； 3、 ( , ) ( , ) 0 0 1  t t =  t t − ； 4、当 A 给定后， ( , ) 0  t t 唯一； 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 +      = + +    t t t t t t t I A d A A d d 0 1 0 0 0 1 2 2 1 ( , ) ( )  ( ) ( )    (2.6a) 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地， 只有当满足 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 A t A d A d A t t t t t     =           即在矩阵乘法可交换的条件下， ( , ) 0  t t 才可表示为如下矩阵指数函数形式  =   t t t t A d 0 ( , ) exp ( ) 0   (2.6b) 显然，定常系统的状态转移矩阵 ( ) 0  t − t 不依赖于初始时刻 0 t ，其性质仅是上述时变 系统的特例。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 2．1] 试求如下线性定常系统             − − =      2 1 2 1 2 3 0 1 x x x x   的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1 (t）。 [解] 对于该系统，       − − = 2 3 0 1 A

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 其状态转移矩阵由下式确定 s-A)] 由于 41923-12 其逆矩阵为 (S+1)(s+2) (S+1)(S+2) (s+1)( (S+1)(s+2) (S+1)(S+2) 因此 由于Φ-(t)=(-t),故可求得状态转移矩阵的逆为 [例2.2]求下列系统的时间响应 0 式中,u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数,即u(t)=1(t)。 [解]对该系统 B 2 状态转移矩阵Φ()=e“已在例2.1中求得,即 d(1)= 2e-+2 因此,系统对单位阶跃输入的响应为 I-r) +2

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 3 其状态转移矩阵由下式确定 ( ) [( ) ] −1 −1  t = e = L sI − A At 由于       + − =      − − −      − = 2 3 1 2 3 0 1 0 0 s s s s sI A 其逆矩阵为             + + + + − + + + + + =       − + + + − = − ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) 3 2 3 1 ( 1)( 2) 1 ( ) 1 s s s s s s s s s s s s s s sI A 因此 ( ) [( ) ] −1 −1  t = e = L sI − A At =         − + − + − − − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为         − + − + − −  = = − − t t t t t t t t At e e e e e e e e t e 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ------------------------------------------------------------------------------ [例 2.2] 求下列系统的时间响应： u x x x x       +            − − =      1 0 2 3 0 1 2 1 2 1   式中，u(t)为 t = 0 时作用于系统的单位阶跃函数，即 u(t)=1(t)。 [解] 对该系统       =       − − = 1 0 2 3 0 1 A B 状态转移矩阵 At (t) = e 已在例 2.1 中求得，即         − + − + − −  = = − − − − − − − − t t t t t t t t At e e e e e e e e t e 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 因此，系统对单位阶跃输入的响应为：          t d e e e e e e e e x t e x t o t t t t t t t t At 1( ) 1 0 2 2 2 2 ( ) (0) ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2( )               − + − + − − = +  − − − − − − − − − − − − − − − −

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 或 x(1) x2(1) 2e-+2e 如果初始状态为零,即Ⅹ(0)=0,可将X(t)简化为 2.3向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果,即着重讨论 Caley- Hamilton定理和最小多项式 2.3.1凯莱-哈密尔顿( Caley- amilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常 有用的 考虑n×n维矩阵A及其特征方程 A-A=”+a1n 凯莱-哈密尔顿定理指出,矩阵A满足其自身的特征方程,即 为了证明此定理,注意到(λIA)的伴随矩阵adj(λI-4)是λ的n-1次多项式,即 dj(d-A)=B,2+ B,2+.+B-1+B 式中,B1=/。由于 (-A)ad/-1)=ad(-4(-4)=1-41 可得 1aI-A I=I2+,I2+.+an-Ia+a, I (-A)(B1+B2-2+…+Bn1+Bn) (Bn+B22+…+Bn1A+Bn)(-A 从上式可看出,A和B,(i=1,2,…,n)相乘的次序是可交换的。因此,如果(I-A)及 其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零,则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ,显然λ I-A为零。这样

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 4 或           − − + +              − + − + − − =      − − − − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t e e e e x x e e e e e e e e x t x t 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (0) (0) 2 2 2 2 ( ) ( ) 如果初始状态为零，即 X(0)=0,可将 X(t)简化为           − − + =      − − − − t t t t e e e e x t x t 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ------------------------------------------------------------------------------ 2.3 向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在 2.4 节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论 Caley-Hamilton 定理和最小多项式。 2.3.1 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常 有用的。 考虑 n×n 维矩阵 A 及其特征方程 | | 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n I A  a   a  a 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵 A 满足其自身的特征方程，即 1 0 1 + 1 + + − + = − A a A a A a I n n n n  (2.7) 为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵 adj(λI-A)是λ的 n -1 次多项式，即 n n n n I − A = B + B + + B − + B − −    1 2 2 1 1 adj( )  式中， B = I 1 。由于 (I − A)adj(I − A) = [adj(I − A)](I − A) = I − AI 可得 ( )( ) ( )( ) | | 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 B B B B I A I A B B B B I A I I a I a I a I n n n n n n n n n n n n = + + + + − = − + + + + − = + + + + − − − − − − − −                从上式可看出，A 和 Bi (i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI-A）及 其伴随矩阵 adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用 A 代替λ，显然λ I-A 为零。这样

《现代控制理论基础》第二章(讲义) A"+a14"+…+an1A+anI=0 即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 2.3.2最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程,然而特征方程不 定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项 式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(),即 p()=m+a12 m≤n 使得中(A)=0,或者 P(a) Am+…+anA+anI=0 最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用 假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可 以证明,如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1,则最小多项式φ(λ)由下式给出: p(n) I2/-AI d() 注意,n×n维矩阵A的最小多项式中(X)可按下列步骤求出 1、根据伴随矩阵adj(λI-A),写出作为λ的因式分解多项式的adj(I-A)的各元素; 、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d()的λ最高阶次 系数为1。如果不存在公约式,则d()=1 3、最小多项式中()可由λI-A除以d(X)得到 2.4矩阵指数函数e的计算 前已指出,状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵,即矩阵指数函数e"。如 果给定矩阵A中所有元素的值, MATLAB将提供一种计算e的简便方法,其中T为常数 除了上述方法外,对e"的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四 种计算方法。 2.3.1方法一:直接计算法(矩阵指数函数) a2t2 at3 I+At+ (2.9) 3! 可以证明,对所有常数矩阵A和有限的t值来说,这个无穷级数都是收敛的。 2.3.2方法二:对角线标准形与 Jordan标准形法

《现代控制理论基础》第二章(讲义) 5 1 0 1 + 1 + + − + = − A a A a A a I n n n n  即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 2.3.2 最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理，任一 n×n 维矩阵 A 满足其自身的特征方程，然而特征方程不 一定是 A 满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵 A 为其根的最小阶次多项式称为最小多项 式，也就是说，定义 n×n 维矩阵 A 的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即 a am am m n m m = + + + − +  − ( ) , 1 1    1   使得φ(A）= 0，或者 ( ) 1 0 1 = + 1 + + − + = − A A a A a A a I m m  m m  最小多项式在 n×n 维矩阵多项式的计算中起着重要作用。 假设λ的多项式 d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵 adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可 以证明，如果将 d(λ)的λ最高阶次的系数选为 1，则最小多项式φ(λ)由下式给出： ( ) | | ( )     d I − A = (2.8) 注意，n×n 维矩阵 A 的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出： 1、根据伴随矩阵 adj(λI-A)，写出作为λ的因式分解多项式的 adj(λI-A)的各元素； 2、确定作为伴随矩阵 adj(λI-A)各元素的最高公约式 d(λ)。选取 d(λ)的λ最高阶次 系数为 1。如果不存在公约式，则 d(λ)=1； 3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以 d(λ)得到。 2.4 矩阵指数函数 e At的计算 前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数 e At 。如 果给定矩阵 A 中所有元素的值，MATLAB 将提供一种计算 e AT 的简便方法，其中 T 为常数。 除了上述方法外，对 e At 的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四 种计算方法。 2.3.1 方法一：直接计算法(矩阵指数函数) k k k At A t k A t A t e I At   = = + + + + = 0 2 2 3 3 ! 1 2! 3!  (2.9) 可以证明，对所有常数矩阵 A 和有限的 t 值来说，这个无穷级数都是收敛的。 2.3.2 方法二：对角线标准形与 Jordan 标准形法