《现代控制理论基础》第四章(讲义) 综合部分 第四章线性多变量系统的综合与设计 4.1引言 前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种 数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等;系统的分析,则主要研究系统 的定量变化规律(如状态方程的解,即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反,即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上,寻求控制规律,以使系统具有某种期望的性能。一般说来,这种控制规律常取反 馈形式,因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面,反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开 环系统。在本章中,我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础,仍然在时域中讨论线性 反馈控制规律的综合与设计方法。 4.1.1问题的提法 给定系统的状态空间描述 Q=[B:AB∷…A"B 若再给定系统的某个期望的性能指标,它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量 过渡过程时间、极、零点,也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时,综合问题就是 寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。 对于线性状态反馈控制律 u=-Kx+r 对于线性输出反馈控制律 u=-Hy+r 其中r∈R为参考输入向量。 由此构成的闭环反馈系统分别为 (A- BK)x+ Br y (A- BHC )x+ Br V=Cx 闭环反馈系统的系统矩阵分别为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) III、综合部分 第四章 线性多变量系统的综合与设计 4.1 引言 前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种 数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统 的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般说来，这种控制规律常取反 馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开 环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性 反馈控制规律的综合与设计方法。 4.1.1 问题的提法 给定系统的状态空间描述 [ ] 1 Q B AB A B n− = 若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、 过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时，综合问题就是 寻求一个控制作用 u，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。 对于线性状态反馈控制律 u = −Kx + r 对于线性输出反馈控制律 u = −Hy + r 其中 r r R 为参考输入向量。 由此构成的闭环反馈系统分别为 y Cx x A BK x Br = = ( − ) + 或 y Cx x A BHC x Br = = ( − ) + 闭环反馈系统的系统矩阵分别为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) A =A- BK A-BHC 即∑k=(A-BK,B,C)或∑n=(A-BHC,BC) 闭环传递函数矩阵 GK(s)=C-[s/-(A-BK)]B Gu(s)=C-[s/-(A-BHC)J-B 我们在这里将着重指出,作为综合问题,将必须考虑三个方面的因素,即1)抗外部干 扰问题;2)抗内部结构与参数的摄动问题,即鲁棒性( Robustness)问题:3)控制规律的工程 实现问题。 般说来,综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下 来确定控制规律ω;而对设计,则还必须考虑许多实际问题,如控制器物理实现中线路的选 择、元件的选用、参数的确定等。 4.1.2性能指标的类型 总的说来,综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的 差别为:非优化型指标是一类不等式型的指标,即只要性能值达到或好于期望指标就算是实 现了综合目标,而优化型指标则是一类极值型指标,综合目标是使性能指标在所有可能的控 制中使其取极小或极大值 对于非优化型性能指标,可以有多种提法,常用的提法有: 1、以渐近稳定作为性能指标,相应的综合问题称为镇定问题 2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标,相应的综合问题称为极点配置问题。从 线性定常系统的运动分析中可知,如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕 度、相位稳定裕度,都可以被认为等价于系统极点的位置,因此相应的综合问题都可视为极 点配置问题 3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指 标,相应的综合问题称为解耦问题。在工业过程控制中,解耦控制有着重要的应用 4、以使系统的输出υ(1)无静差地跟踪一个外部信号y(1)作为性能指标,相应的综合问 题称为跟踪问题。 对于优化型性能指标,则通常取为相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标,即 ()=(x1Qx+7/a)h 其中加权阵Q=Q>0或≥0,R=R>0且(A,Q"2)能观测。综合的任务就是确定 a'(t),使相应的性能指标J(u'(t)极小。通常,将这样的控制a'(t)称为最优控制,确切 地说是线性二次型最优控制问题,即LQ调节器问题
《现代控制理论基础》第四章(讲义) AK = A− BK AH = A− BHC 即 (A BK,B,C) K = − 或 (A BHC,B,C) H = − 。 闭环传递函数矩阵 GK s C sI A BK B 1 1 ( ) [ ( )] − − = − − GH s C sI A BHC B 1 1 ( ) [ ( )] − − = − − 我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即 1)抗外部干 扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程 实现问题。 一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下， 来确定控制规律 u；而对设计，则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选 择、元件的选用、参数的确定等。 4.1.2 性能指标的类型 总的说来，综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的 差别为：非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算是实 现了综合目标，而优化型指标则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有可能的控 制中使其取极小或极大值。 对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的提法有： 1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题； 2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题。从 线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕 度、相位稳定裕度，都可以被认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极 点配置问题； 3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指 标，相应的综合问题称为解耦问题。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用； 4、以使系统的输出 y(t)无静差地跟踪一个外部信号 ( ) 0 y t 作为性能指标，相应的综合问 题称为跟踪问题。 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，即 = + 0 J(u(t)) (x Qx u Ru)dt T T 其中加权阵 = 0 T Q Q 或 0 ， = 0 T R R 且 ( , ) 1/ 2 A Q 能观测。综合的任务就是确定 u (t) ，使相应的性能指标 J (u (t)) 极小。通常，将这样的控制 u (t) 称为最优控制，确切 地说是线性二次型最优控制问题，即 LQ 调节器问题
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.1.3研究综合问题的主要内容 主要有两个方面: 1、可综合条件可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立,可避 免综合过程的盲目性。 2、控制规律的算法问题这是问题的关键。作为一个算法,评价其优劣的主要标准是 数值稳定性,即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说,如果问 题不是病态的,而所采用的算法又是数值稳定的,则所得结果通常是好的。 4.1.4工程实现中的一些理论问题 在综合问题中,不仅要研究可综合条件和算法问题,而且要研究工程实现中提出的一系 列理论问题。主要有: l、状态重构问题由于许多综合问题都具有状态反馈形式,而状态变量为系统的内 部变量,通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测,解决这一矛盾的途径是:利用 可量测输出y和输入u来构造出不能量测的状态x,相应的理论问题称为状态重构问题,即 观测器问题和 Kalman滤波问题。 2、鲁棒性( Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计 控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统,使其在规定的时间内,返回到垂 直位置:其次还将讨论状态观测器的设计:最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺 服系统。我们将设计一个倒立摆系统,当我们施加于小车一个阶跃输入时,仍可使该系统稳 定(也就是说,摆不会倒下来) 本章41节为引言。42节将讨论控制系统设计的极点配置方法,给出问题提法、可配 置条件及极点配置的算法。43节将介绍利用 MATLAB求解极点配置问题,并给出用于极 点配置设计的 MATLAB程序。44节以倒立摆为例,给出用极点配置方法设计调节器型系 统的一个例子,并分别介绍分析解法和 MATLAB解法 4.5节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论,将介绍3种确定观 测器增益矩阵Ke的方法,并引入控制器-观测器概念。46节讨论利用 MATLAB设计状态观 测器。4.7节研究伺服系统的设计,将讨论当含有积分器和不含积分器时I型伺服系统的设 计。48节介绍用 MATLAB设计控制系统的一个例子,将用 MATLAB设计倒立摆控制系统 通过使用 MATLAB,可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线 4.2极点配置问题 本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为s=1,s=2;…,s=n。我们将 证明,如果被控系统是状态能控的,则可通过选取一个合适的状态反馈増益矩阵K,利用状 态反馈方法,使闭环系统的极点配置到任意的期望位置 这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在s平面上将一个系统的闭环极点配置 到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论3种确定状态反馈增益矩阵的
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.1.3 研究综合问题的主要内容 主要有两个方面： 1、可综合条件 可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避 免综合过程的盲目性。 2、控制规律的算法问题 这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是 数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问 题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。 4.1.4 工程实现中的一些理论问题 在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题，而且要研究工程实现中提出的一系 列理论问题。主要有： 1、状态重构问题 由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内 部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用 可量测输出 y 和输入 u 来构造出不能量测的状态 x，相应的理论问题称为状态重构问题，即 观测器问题和 Kalman 滤波问题。 2、鲁棒性(Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计 控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统，使其在规定的时间内，返回到垂 直位置；其次还将讨论状态观测器的设计；最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺 服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳 定（也就是说，摆不会倒下来）。 本章 4.1 节为引言。4.2 节将讨论控制系统设计的极点配置方法，给出问题提法、可配 置条件及极点配置的算法。4.3 节将介绍利用 MATLAB 求解极点配置问题，并给出用于极 点配置设计的 MATLAB 程序。4.4 节以倒立摆为例，给出用极点配置方法设计调节器型系 统的一个例子，并分别介绍分析解法和 MATLAB 解法。 4.5 节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论，将介绍 3 种确定观 测器增益矩阵 Ke 的方法，并引入控制器-观测器概念。4.6 节讨论利用 MATLAB 设计状态观 测器。4.7 节研究伺服系统的设计，将讨论当含有积分器和不含积分器时 I 型伺服系统的设 计。4.8 节介绍用 MATLAB 设计控制系统的一个例子，将用 MATLAB 设计倒立摆控制系统。 通过使用 MATLAB，可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。 4.2 极点配置问题 本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为 s =μ1，s =μ2,…，s =μn。我们将 证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵 K，利用状 态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。 这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在 s 平面上将一个系统的闭环极点配置 到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论 3 种确定状态反馈增益矩阵的
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意,当控制输入为向量时,极点配置方法的数学表达式十分复杂,本书将不讨论 这种情况。还应注意,当控制输入是向量时,状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于n个参数,也就是说,除了适当地配置n个闭环极点外,即使闭环系统还有其他需 求,也可满足其部分或全部要求 4.2.1问题的提法 前面我们己经指出,在经典控制理论的系统综合中,不管是频率法还是根轨迹法,本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 4.1) 式中x(1)∈R,u(t)∈R,A∈Rm,B∈R。 选取线性反馈控制律为 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定,因此将该方法称为状态反馈方法。其中1×n维 矩阵K称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中,假设u不受约束 图41(a)给出了由式(41)所定义的系统。因为没有将状态x反馈到控制输入中 所以这是一个开环控制系统。图4.1(b)给出了具有状态反馈的系统。因为将状态x反馈到 了控制输入u中,所以这是一个闭环反馈控制系统 (缺图,见更新版) 图4.1(a)开环控制系统(b)具有u=-Kx的闭环反馈控制系统 将式(4.2)代入式(4.1),得到 x(1)=(A-BK)x() 该闭环系统状态方程的解为 x()=e(4-B)x(0) 式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当,则可使矩阵A-BK构成一个渐近稳定矩阵,此时对所有的 x(0)≠0,当t→∞时,都可使x(→0。一般称矩阵A-BK的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于s的左半平面内,则当t→∞时,有x(1)→0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题,称之为极点配置问题 下面讨论其可配置条件。我们将证明,当且仅当给定的系统是状态完全能控时,该系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论 这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于 n 个参数，也就是说，除了适当地配置 n 个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需 求，也可满足其部分或全部要求。 4.2.1 问题的提法 前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 x = Ax + Bu (4.1) 式中 1 1 ( ) , ( ) , , n n n n x t R u t R A R B R 。 选取线性反馈控制律为 u = −Kx (4.2) 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中 1×n 维 矩阵 K 称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设 u 不受约束。 图 4.1（a）给出了由式（4.1）所定义的系统。因为没有将状态 x 反馈到控制输入 u 中， 所以这是一个开环控制系统。图 4.1（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态 x 反馈到 了控制输入 u 中，所以这是一个闭环反馈控制系统。 （缺图，见更新版） 图 4.1 (a) 开环控制系统 (b) 具有 u = −Kx 的闭环反馈控制系统 将式（4.2）代入式（4.1），得到 x (t) = (A − BK)x(t) 该闭环系统状态方程的解为 ( ) (0) ( ) x t e x A−BK t = (4.3) 式中 x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵 A-BK 的特征 值决定。如果矩阵 K 选取适当，则可使矩阵 A-BK 构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的 x(0)≠0，当 t → ∞时，都可使 x(t) → 0。一般称矩阵 A-BK 的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于 s 的左半平面内，则当 t → ∞时，有 x(t) → 0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。 下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的 4.2.2可配置条件 考虑由式(4.1)定义的线性定常系统。假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 Kx 式中K为线性状态反馈矩阵,由此构成的系统称为闭环反馈控制系统,如图4.1(b)所示。 现在考虑极点的可配置条件,即如下的极点配置定理 定理41(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是,此被控系统状态完全能控。 证明;由于对多变量系统证明时,需要使用循环矩阵及其属性等,因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是,这一定理对多变量系统也是完全成立的 1°必要性。即已知闭环系统可任意配置极点,则被控系统状态完全能控 现利用反证法证明。先证明如下命题:如果系统不是状态完全能控的,则矩阵A-BK的 特征值不可能由线性状态反馈来控制 假设式(41)的系统状态不能控,则其能控性矩阵的秩小于n,即 ra[B:AB:…:A"B]=q<n 这意味着,在能控性矩阵中存在q个线性无关的列向量。现定义q个线性无关列向量为 f,J2,…,J,选择nq个附加的n维向量vg+,vq+2,…,Vn,使得 P=[f1:f2 的秩为n。因此,可证明 Bu A PAP A12 B=PB 0 这些方程的推导可见例47。现定义 K=KP=k,: k,I 则有
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的。 4.2.2 可配置条件 考虑由式（4.1）定义的线性定常系统。假设控制输入 u 的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 u = −Kx 式中 K 为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图 4.1（b）所示。 现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。 定理 4.1 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是，此被控系统状态完全能控。 证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。 o 1 必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。 现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵 A-BK 的 特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设式（4.1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于 n，即 rank B AB A B q n n = − [ ] 1 这意味着，在能控性矩阵中存在 q 个线性无关的列向量。现定义 q 个线性无关列向量为 q f , f , , f 1 2 ，选择 n-q 个附加的 n 维向量 q q n v , v , , v +1 +2 ，使得 [ ] 1 2 q q 1 q 2 n P f f f v v v = + + 的秩为 n 。因此，可证明 = = = = − − 0 ˆ , 0 ˆ 11 1 22 1 11 12 B B P B A A A A P AP 这些方程的推导可见例 4.7。现定义 [ ] ˆ 1 2 K = KP = k k 则有