《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5状态重构问题与 Luenberger状态观测器 前已指出,对于状态完全能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上,不仅是极点配置,而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制(LQ 问题等,也都可由状态反馈实现。然而,在42节介绍极点配置方法时,曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中,并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量, 因为噪声通常比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器,或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接量测,这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时,我们只需观测不可量测的状态变量,而不是可直 接量测的状态变量。例如,由于输出变量是能量测的,并且它们与状态变量线性相关,因而 无需观测所有的状态变量,而只需观测n-m个状态变量,这里n为状态向量的维数,m为输 出向量的维数 估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的,当且仅当系统满足能观测性条件 时,才能设计状态观测器 在下面有关状态观测器的讨论中,我们用ⅹ表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中,一般将被观测的状态向量用于状态反馈,以便产生期望的控制输入 考虑如下线性定常系统 x=Ax+Bu (4.27) y=Cx 假设状态向量x可由如下动态方程 Ax+ Bu+K,(y-Cx) 中的状态x来近似,则该式表示状态观测器,其中K。称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为y和u,输出为X。式(429)中右端最后一项包括可量测输出y与估计输
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 1 4.5 状态重构问题与 Luenberger 状态观测器 前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ) 问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在 4.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量， 因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时，我们只需观测不可量测的状态变量，而不是可直 接量测的状态变量。例如，由于输出变量是能量测的，并且它们与状态变量线性相关，因而 无需观测所有的状态变量，而只需观测 n-m 个状态变量，这里 n 为状态向量的维数，m 为输 出向量的维数。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的，当且仅当系统满足能观测性条件 时，才能设计状态观测器。 在下面有关状态观测器的讨论中，我们用 x ~ 表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。 考虑如下线性定常系统 x = Ax + Bu (4.27) y = Cx (4.28) 假设状态向量 x 可由如下动态方程 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − (4.29) 中的状态 x ~ 来近似，则该式表示状态观测器，其中 Ke 称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为 y 和 u，输出为 x ~ 。式（4.29）中右端最后一项包括可量测输出 y 与估计输
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 出Cⅹ之差的修正项。矩阵K起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量x。当此模型使 用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时,由于动态模型和实际系统 之间的差别,该附加修正项将减小这些影响。图45所示为带全维状态观测器的系统方块图 下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中 的附加修正项包含可量测输出与估计输出之差。在讨论过程中,假设在此观测器模型中使用 的矩阵A和B与实际系统使用的相同 B 图45全维状态观测器方块图 4.5.2全维状态观测器的误差方程 在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(427)和(4.28)定 义。观测器的方程由式(4.29)定义 为了得到观测器的误差方程,将式(4.27)减去式(429),可得 x-x= Ax-Ax-K (cx-Cx)=(A-K C)x-x)( 定义x与x之差为误差向量,即 则式(4.30)可改写为 =(A-KeC)e (431) 由式(431)可看出,误差向量的动态特性由矩阵A-KC的特征值决定。如果矩阵A-KC 是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e(O,误差向量e(都将趋近于零。也就是说,不管x (0)和x(O)的值如何,x()都将收敛到x(1)。如果所选的矩阵A-KC的特征值使得误差向量 2
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 2 出 C x ~ 之差的修正项。矩阵 Ke 起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量 x ~ 。当此模型使 用的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的矩阵 A 和 B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统 之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图 4.5 所示为带全维状态观测器的系统方块图。 下面将详细讨论用矩阵 A 和 B 以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其中 的附加修正项包含可量测输出与估计输出之差。在讨论过程中，假设在此观测器模型中使用 的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的相同。 图 4.5 全维状态观测器方块图 4.5.2 全维状态观测器的误差方程 在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（4.27）和（4.28）定 义。观测器的方程由式（4.29）定义。 为了得到观测器的误差方程，将式（4.27）减去式（4.29），可得 ) ~ ) ( )( ~ ( ~ ~ x x Ax Ax K Cx Cx A K C x x − = − − e − = − e − (4.30) 定义 x 与 x ~ 之差为误差向量，即 e x x ~ = − 则式（4.30）可改写为 e A K C e e = ( − ) (4.31) 由式（4.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵 A - KeC 的特征值决定。如果矩阵 A -KeC 是稳定矩阵，则对任意初始误差向量 e (0)，误差向量 e (t)都将趋近于零。也就是说，不管 x (0)和 x ~ (0)的值如何， ( ) ~ x t 都将收敛到 x (t)。如果所选的矩阵 A - KeC 的特征值使得误差向量
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量e()都将以足够快的速度趋近于零(原点) 此时将()称为x(m)的渐近估计或重构。 如果系统是完全能观测的,下面将证明可以通过选择K。,使得A-KC具有任意的期 望特征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵K。,以便产生期望的矩阵A-KC 4.5.3对偶问题 全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵K。,使得由式(4.31)定义的误 差动态方程,以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KC的特征值决定)。因此,全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的K。,使得 A-KC具有期望的特征值。此时,全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与42节讨论 的极点配置相同的问题。 考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu y=Cx 在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统 +C U n= B 的极点配置问题。假设控制输入为 K 如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得反馈闭环系统的 系统矩阵A-CK得到一组期望的特征值 如果1,凵2,…,n是状态观测器系统矩阵的期望特征值,则可通过取相同的作为其 对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值,从而 s1-(4-Ck)|=(s-H1Xs-2)(s-Hn) 注意到A-CK和A-KC的特征值相同,即有 sI-(A'-CK)=s/-(A 比较特征多项式s1-(A-K(C)和观测器的系统矩阵(参见式(4.31)的特征多项 式s-(A-KC),可找出K。和K7的关系为 因此,观测器问题与极点配置问题具有对偶关系,即 A→A,B→B,C→Cr,K2→K 在下面的讨论中,我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题,考虑为其对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 3 的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量 e (t)都将以足够快的速度趋近于零 (原点)， 此时将 ( ) ~ x t 称为 x (t)的渐近估计或重构。 如果系统是完全能观测的，下面将证明可以通过选择 Ke ，使得 A - KeC 具有任意的期 望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵 Ke ，以便产生期望的矩阵 A - KeC。 4.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵 Ke ，使得由式（4.31）定义的误 差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KeC 的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的 Ke ，使得 A-KeC 具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与 4.2 节讨论 的极点配置相同的问题。 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu = = + 在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统 n B z z A z C T T T = = + 的极点配置问题。假设控制输入为 = −Kz 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵 K，使得反馈闭环系统的 系统矩阵 A C K T T − 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,μn 是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的μi 作为其 对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n T T sI − A −C K = s − s − s − 注意到 A C K T T − 和 A K C T − 的特征值相同，即有 sI (A C K) sI (A K C) T T T − − = − − 比较特征多项式 sI (A K C) T − − 和观测器的系统矩阵（参见式（4.31））的特征多项 式 sI (A K C) − − e ，可找出 Ke 和 T K 的关系为 T Ke = K 因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即 T e T T T A A , B B , C C , K K 在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的极点配置问题,即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵A,然后利 用关系式K=K,确定出原系统的观测器增益矩阵K 4.5.4可观测条件 如前所述,对于使A-AC具有期望特征值的观测器增益矩阵K。的确定,其充要条件 为原给定系统的对偶系统 2=A 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为 的秩为n。而这正是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味 着。由式(4.27)和(4.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。 下面将利用上述对偶关系,介绍全维状态观测器的设计算法,包括相应的Bass-Gura 算法、直接代入法,以及爱克曼公式 4.5.5全维状态观测器的Bass-Gura算法 考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统 x= Ax+ Bu 式中,x∈R,u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R。假设系统是状态完全能观测 的,又设系统结构如图45所示 在设计全维状态观测器时,若将式(4.32)和(433)给出的系统变换为能观测标准形, 则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系,将式(432)和(433)的系统变换为能 观测标准形,可按下列步骤进行,即首先定义一个变换矩阵P,使得 P=(R)-1 (4.34) 式中R是能观测性矩阵 R=[ C:A C…(A)"Cr] (4.35) 且对称矩阵W由式(4.6)定义,即 0 0 0 0 式中,a1是由式(432)给出的如下特征方程的系数
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4 的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵 K，然后利 用关系式 T Ke = K ，确定出原系统的观测器增益矩阵 K。 4.5.4 可观测条件 如前所述，对于使 A - KeC 具有期望特征值的观测器增益矩阵 Ke 的确定，其充要条件 为原给定系统的对偶系统 z A z C v T T = + 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为 [ ( ) ] T T T T n 1 T C A C A C − 的秩为 n 。而这正是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味 着。由式（4.27）和(4.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。 下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的 Bass-Gura 算法、直接代入法，以及爱克曼公式。 4.5.5 全维状态观测器的 Bass-Gura 算法 考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统 x = Ax + Bu (4.32) y = Cx (4.33) 式中， n n n n n x R u R y R A R B R C R 1 1 1 1 , , , , , 。假设系统是状态完全能观测 的，又设系统结构如图 4.5 所示。 在设计全维状态观测器时，若将式（4.32）和（4.33）给出的系统变换为能观测标准形， 则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（4.32）和（4.33）的系统变换为能 观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵 P，使得 1 ( ) − P = WR (4.34） 式中 R 是能观测性矩阵 [ ( ) ] T T T T T n 1 T R C A C A C − = (4.35) 且对称矩阵 W 由式（4.6）定义，即 = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1 a a a a a a W n n n n 式中， i a 是由式（4.32）给出的如下特征方程的系数
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 显然,由于假设系统是完全能观测的,所以矩阵WR的逆存在 现定义一个新的n维状态向量5为 则式(4.32)和(4.33)为 5=P-lAPE +P-Bu (4.37) 式中 0 0 P-1ap/I 0 6.-ab PB= (4.40) CP=[00…01 (4.41) 式(4.39)到(441)的推导见例47和48,此时式(4.37)和(438)即是能观测标准形 从而给定一个系统的状态方程和输出方程,如果系统是完全能观测的,并且通过采用式 (4.36)的变换,将原系统的状态向量x变换为新的状态向量,则可将给定系统的状态方 程和输出方程变换为能观测标准形。注意,如果矩阵A已经是能观测标准形,则P=l。 如前所述,选择由 G=A+ Bu+k(-Cx (A-K. C)X+ Bu +K, Cx (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义 443) 将式(443)代入式(442),有 P-(A-KCP5 +P- Bu (444) 由式(4.37)减去式(444),可得 P(A-KOP(S-S (4.45) 定义 则式(445)为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 5 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n sI A s a s a s a 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵 WR 的逆存在。 现定义一个新的 n 维状态向量ξ为 x = Pξ (4.36) 则式（4.32）和（4.33）为 P AP P Bu −1 −1 = + (4.37) y = CP (4.38) 式中 − − − = − − 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a a a P AP n n (4.39) − − − = − − − o n n o n n o b a b b a b b a b P B 1 1 1 1 1 (4.40) CP = [0 0 0 1] (4.41) 式（4.39）到（4.41）的推导见例 4.7 和 4.8，此时式（4.37）和（4.38）即是能观测标准形。 从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式 （4.36）的变换，将原系统的状态向量 x 变换为新的状态向量ξ，则可将给定系统的状态方 程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵 A 已经是能观测标准形，则 P = I。 如前所述，选择由 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − = A K C x Bu K Cx − e + + e ~ ( ) (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义 ~ ~ x = P (4.43) 将式（4.43）代入式（4.42），有 P A KeC P P Bu P KeCP 1 ~ 1 1 ( ) ~ − − − = − + + (4.44) 由式（4.37）减去式（4.44），可得 ) ~ ( ) ( ~ 1 − = − − − P A KeC P (4.45) 定义 ~ = − 则式（4.45）为