例题精解 【例题61】图61(a)所示电路中,已知R=R1=R2=R3=292,C=lF,L=lH, E=12V。电路原来处于稳定状态,【=0时闭合开关S。试求初始值i(0)、id(04)、l(0+)、 c(0+) R 【解】由图6.1(b)t=0.时的电路求 i(0)和u(0)。因为 R2R l12(0.)=0 所以 Ro lc(0.)= R3 E 12=4V R0+R1+R32+2+2 (a)例题电路 i1(0)= =2A R0+R1+R32+2+2 由换路定则 i1(0,)=i1(0)=2A lc(04)=lc(0.)=4V 由图61(c)t=0时的电路可得 E=1(04)R+(0,)R2+l(0,) E=(04)R1+i1(0,)R3+a(0) (b)t=0.时 i(04)=i(04)+i1(0,) R 12=2(0,)+2ic(0,)+4 12=2(0,)+2×2+u1(0,) i(0,)=c(0,) 解得 l1(04)=2V (c)0时 i(04)=3A 图6.1例题6.1的图 故所求初始值为
69 一、 例题精解 【例题 6.1】 图 6.1(a)所示电路中，已知 R0= R1= R2= R3=2Ω，C =1F，L =1H ， E =12V。电路原来处于稳定状态，t = 0 时闭合开关 S。试求初始值 iL(0+)、iC(0+)、uL(0+)、 uC(0+)。 S E C L R1 R2 R3 iL uL iC R0 Cu 【解】 由图 6.1(b) t = 0- 时的电路求 iL(0-)和 uC(0-)。因为 i (0 ) 0 (0 ) 0 C − = uL − = 所以 12 4V 2 2 2 2 (0 ) 0 1 3 3 C × = + + = + + − = E R R R R u (a) 例题电路 2A 2 2 2 12 (0 ) 0 1 3 L = + + = + + − = R R R E i 由换路定则 E R1 R2 R3 iL iC R0 uL uC (0 ) (0 ) 4V (0 ) (0 ) 2A C C L L = = = = + − + − u u i i 由图 6.1(c) t = 0+时的电路可得 = + = + + = + + + + + + + + + + + (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) C L 1 L 3 L 1 C 2 C i i i E i R i R u E i R i R u (b) t = 0-时 E C L R1 R2 R3 iL uL iC i uC = + = + × + = + + + + + + + + (0 ) (0 ) 2 12 2 (0 ) 2 2 (0 ) 12 2 (0 ) 2 (0 ) 4 C L C i i i u i i 解得 = = = + + + (0 ) 3A (0 ) 1A (0 ) 2V C L i i u (c) t=0+时 图 6.1 例题 6.1 的图 故所求初始值为
电工学试题精选与答题技巧 i1(0,)=2Aic(0)=1A l12(0,)=2vlc(0,)=4V 【例题62】电路如图62(a所示,已知R=R1=R2=R3=R4=292,C=300puF,ls=2A 12V,且t=0.时,l=0。试求开关S闭合后c的变化规律 C Re R R1 t Ro =04s 例题电路 (b)等效电路 图62例题62的图 【解】先把电容左部电路化简成电压源,如图62(b)所示。 等效电压源的电动势 E0=E-lsR3=12-2×2=8V 电压源的等效电阻 Ro=R1+R2+R3=2+2+2=62 初始值 lc(04)=lc(0-)=0 稳态值 lc(∞)= 8=2V R0+R46+2 时间常数 RoRA 6×2 300×10-6=045×10-3s R0+R46+ 由三要素法得 l2()=21-c-104)=21-e-22 【例题6.3】一个电感线圈被短接以后,需经0.ls后电感线圈内的电流才减少到初 始值的35%;如果用5Ω的电阻R来代替短路线,那么需经005s后电感线圈内的电流 才减少到初始值的35%。试求电感线圈的电阻r和电感L。 【解】储能的电感线圈被短接时,电流的表达式为
70 电工学试题精选与答题技巧 (0 ) 2V (0 ) 4V (0 ) 2A (0 ) 1A L C L C = = = = + + + + u u i i 【例题6.2】电路如图6.2(a)所示，已知R0= R1= R2= R3= R4=2Ω，C =300µF，IS =2A ， E =12V，且 t = 0-时，uC= 0。试求开关 S 闭合后 uC 的变化规律 E C E0 b a a b t = 0 t = 0 C R1 R2 R3 R4 R4 R0 I S S S (a) 例题电路 (b) 等效电路 图 6.2 例题 6.2 的图 【解】 先把电容左部电路化简成电压源，如图 6.2(b) 所示。 等效电压源的电动势 E0 = E − ISR3 = 12 − 2 × 2 = 8V 电压源的等效电阻 R0 = R1 + R2 + R3 = 2 + 2 + 2 = 6Ω 初始值 (0 ) (0 ) 0 uC + = uC − = 稳态值 8 2V 6 2 2 ( ) 0 0 4 4 C × = + = + ∞ = E R R R u 时间常数 300 10 0.45 10 s 6 2 6 2 6 3 0 4 0 4 − − × × = × + × = + = C R R R R τ 由三要素法得 ( ) 2(1 e ) 2(1 e )V 10 / 45 2 222 C 5 t t u t − − = − = − 【例题 6.3】 一个电感线圈被短接以后，需经 0.1s 后电感线圈内的电流才减少到初 始值的 35%；如果用 5Ω的电阻 R 来代替短路线，那么需经 0.05s 后电感线圈内的电流 才减少到初始值的 35%。试求电感线圈的电阻 r 和电感 L。 【解】 储能的电感线圈被短接时，电流的表达式为
第六章电路的暂态分析 in(t=1 其中为电感线圈的初始电流。当电感线圈被短接时,时间常数n=Lr,在t=0.ls时 可得方程 0.35l。=l 而用592的电阻R来代替短路线时,时间常数=L(r+R),在=0.05s时可得方程 将以上两个指数方程化为代数方程,可得 0.05r-1.05L=-0.25 解方程组得 0.25 0.05 1.05 【例题64】在图63(a)的电路中,已知R1=400k R2=R3=200k2,C=100pF,输入电压如图6.3(b) R 示,其中U=20V,4=20。试求输出电压n,“R R C|2 并画出其变化曲线。 【解】根据本题输入电压的特点,我们可以 (a)例题电路 分段使用一阶电路的三要素法。从电路可以看出, 无论对于输入电压波形的哪一段时间而言,电路 的时间常数都是一样的,而且同电阻R1无关(因为 电阻R1同电源并联在一起),所以有 R,R3 XC= R2 +r 200×200×10×100×10 U/2 200+200 (b)输入电压 10us (1)当0<1<1时,输出电压 )= R,+ (c)输出电压 (0,)=l2(0)=0 图6.3例题64的图 所以 l2()=10-10cV(0<t<) 当<<3时,输出电压 n2(∞)=-“1xR2 200=-5V 200+200
第六章 电路的暂态分析 71 /τ L 0 ( ) e t i t I − = 其中 I0 为电感线圈的初始电流。当电感线圈被短接时，时间常数τ1 =L/r，在 t =0.1s 时 可得方程 r L I I 0.1 / 0 0 0.35 e− = 而用 5Ω的电阻 R 来代替短路线时，时间常数τ2 =L/(r+R)，在 t=0.05s 时可得方程 r L I I 0.05( 5)/ 0 0 0.35 e − + = 将以上两个指数方程化为代数方程，可得 − = − − = 0.05 1.05 0.25 0.1 1.05 0 r L r L 解方程组得 0.476H 1.05 0.5 5 0.05 0.25 = = = = Ω L r 【例题 6.4】在图 6.3(a)的电路中, 已知 R1=400kΩ, R2= R3=200kΩ, C=100pF, 输入电压 u1 如图 6.3(b) 所示, 其中 U=20V, tp=20µs。试求输出电压 u2 , 并画出其变化曲线。 C u1 u R1 2 R2 R3 【解】根据本题输入电压的特点, 我们可以 分段使用一阶电路的三要素法。从电路可以看出, 无论对于输入电压波形的哪一段时间而言, 电路 的时间常数都是一样的, 而且同电阻R1无关(因为 电阻 R1 同电源并联在一起), 所以有 (a) 例题电路 t U 1 u −U / 2 p 3t pt O 10μs 10 100 10 200 200 200 200 3 12 2 3 2 3 × × × = + × × = + = − C R R R R τ (b) 输入电压 t U 1 u −U / 2 p 3t pt O 2 u 8.65V − 4.75V (1) 当 0 < t < tp 时, 输出电压 200 10V 200 200 20 ( ) 3 2 3 1 2 × = + × = + ∞ = R R R u u (c) 输出电压 图 6.3 例题 6.4 的图 (0 ) (0 ) 0 u2 + = u2 − = 所以 ( ) 10 10e V (0 ) p 10 2 5 u t t t t = − < < − (2) 当 tp < t < 3tp 时, 输出电压 71 200 5V 200 200 10 ( ) 3 2 3 1 2 × = − + − × = + ∞ = R R R u u
电工学试题精选与答题技巧 由三要素法可得 (t)=-5+136 <t< 2(t,)=l2(p-)=10-10e0=10-10c2=865V (3)当t>3时,输出电压 2(∞)=- 200=0 R2+R3 200+200 2(31,)=2(31)=-5+1365e3-)=-475V 由三要素法可得 (t) (t>3p) 输出电压如图63(c)所示 【例题65】电路如图64所示,试用三要素法求t≥0时i1、2的和 【解】(1)根据换路定则 12 i1(0,)=i10.) I2 6 对于开关闭合的一瞬间,即t=0时 的电路应用克希荷夫电流定律和克希荷 夫电压定律可分别列出方程 12V 9V (04)+12(0+)=i1(0) 61(04)-312(0,)=12-9=3V 图64例题6.5的图 解方程后得 i1(0)=12(04)=1A (2)稳态时电感元件可视作短路,故 12 6 9 (∞)=i1(∞)+i2(∞)=2+3=5A (3)时间常数 0.5s
72 电工学试题精选与答题技巧 由三要素法可得 ( ) 5 13.65e V ( 3 ) p p 10 ( ) 2 p 5 u t t t t t t = − + < < − − ( ) ( ) 10 10e 10 10e 8.65V 10 2 2 p 2 p p 5 = = − = − = − − + − t u t u t (3) 当 t > 3tp 时, 输出电压 200 0 200 200 0 ( ) 3 2 3 1 2 × = + × = + ∞ = R R R u u (3 ) (3 ) 5 13.65e 4.75V 10 (3 ) 2 p 2 p p p 5 = = − + = − − − + − t t u t u t 由三要素法可得 ( ) 4.75e V ( 3 ) p 10 ( 3 ) 2 p 5 u t t t t t = − > − − 输出电压如图 6.3(c)所示。 【例题 6.5】 电路如图 6.4 所示, 试用三要素法求 t≥ 0 时 i1、i2 的和 iL。 【解】(1) 根据换路定则 6Ω S 1 i 2i iL t = 0 3Ω 1H 12V 9V 2A 6 12 (0 ) (0 ) iL + = iL − = = 对于开关闭合的一瞬间, 即 t = 0+时 的电路应用克希荷夫电流定律和克希荷 夫电压定律可分别列出方程 − = − = + = = + + + + + 6 (0 ) 3 (0 ) 12 9 3V (0 ) (0 ) (0 ) 2A 1 2 1 2 L i i i i i 图 6.4 例题 6.5 的图 解方程后得 i 1(0+ ) = i2 (0+ ) = 1A (2) 稳态时电感元件可视作短路,故 2A 6 12 ( ) i 1 ∞ = = 3A 3 9 ( ) i2 ∞ = = iL (∞) = i 1 (∞) + i2 (∞) = 2 + 3 = 5A (3) 时间常数 0.5s 6 3 6 3 1 0 = + × = = R L τ
第六章电路的暂态分析 应用三要素法可以得出 i1(1)=2+(1-2e i2(1)=3+(1-3)e-103=3-2e2A i2(D)=5+(2-5)e 5-3e-A 【例题6.6】电路如图6.5(a)所示,换路前已处于稳态,试求t≥0时电容电压 B点电位vB和A点电位vA的变化规律 【解】(1)求t≥0时的电容电压uC +6V Oko (04)=lc(0) B lc()= 5=1.5V 10+5+25 25 r=10+25)/5×103×100×10-12= r=0 0.44×10°s (a)例题电路 l()=1.5+(1-1.5)e 6V 5-0.523x0 100pF (2)求1≥0时的B点电位vc A 注意,t=04时,由于电容中存在电流 5kQ Ic (b)t=0-时 因此10kΩ和5kg电阻中的电流不等。 B(0,)=6-12-1 10=6-3.14=2.86V 10+25 12 v(∞)=6 10=3V 5ko 25kQ 2(t)=3+(286-3)e (3)求t≥0时的A点电位vc 图6.5例题6.6的图
第六章 电路的暂态分析 73 应用三要素法可以得出 ( ) 2 (1 2)e 2 e A / 0.5 2 1 t t i t − − = + − = − ( ) 3 (1 3)e 3 2e A / 0.5 2 2 t t i t − − = + − = − ( ) 5 (2 5)e 5 3e A t / 0.5 2t Li t − − = + − = − 【例题 6.6】 电路如图 6.5(a)所示，换路前已处于稳态，试求 t ≥ 0 时电容电压 uC、 B 点电位 vB和 A 点电位 vA的变化规律。 【解】 (1) 求 t≥0 时的电容电压 uC 10kΩ +6V 100pF B A S t=0 25kΩ 5kΩ uC − 6V 5 1V 5 25 0 ( 6) (0 ) (0 ) C C × = + − − u + = u − = [ ] 0.44 10 s (10 25)//5 10 100 10 6 3 12 − − × τ = + × × × = 5 1.5V 10 5 25 6 ( 6) ( ) C × = + + − − u ∞ = (a) 例题电路 故 1.5 0.5e V ( ) 1.5 (1 1.5)e 6 6 2.3 10 / 0.44 10 C t t u t − × − × − = + − = − +6V 100pF B A 25kΩ 10kΩ 5kΩ uC − 6V (b) t = 0-时 (2) 求 t≥ 0 时的 B 点电位 vC 注意，t = 0+时，由于电容中存在电流， 0 d d C C = ≠ t u i C 因此 10kΩ 和 5kΩ 电阻中的电流不等。 +6V A B 25kΩ 10kΩ 5kΩ 1V − 6V 10 6 3.14 2.86V 10 25 12 1 (0 ) 6 B × = − = + − v + = − 10 3V 10 5 25 12 ( ) 6 B × = + + v ∞ = − 3 0.14e V ( ) 3 (2.86 3)e 6 6 2.3 10 2.3 10 B t t v t − × − × − = + − = (c) t = 0+时 (3) 求 t≥ 0 时的 A 点电位 vC 图 6.5 例题 6.6 的图 73