《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析

《现代控制理论基础》第三章(讲义) IⅠ、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性( controllability)和能观测性( observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系,由 RE Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念,在现代控制理论的研究与实践 中,具有极其重要的意义,事实上,能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性 例如,在极点配置问题中,状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定:在观测器设计和最 优估计中,将涉及到系统的能观测性条件 在本章中,我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义,然后推 导出判别系统能控和能观测性的若干判据 3.1线性连续系统的能控性 3.1.1概述 如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量,使得系统由初始状态x(t)转 移到任一状态,则称该系统在时刻t是能控的。 如果系统的状态x(t)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定,那么称系统在时刻 t是能观测的 前已指出,在用状态空间法设计控制系统时,这两个概念起到非常重要的作用。实际上 虽然大多数物理系统是能控和能观测的,然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观 测性。因此,必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1节涉及到能控性,3.2节 将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义,下面我们将首先推导状态能控性的代数判 据,然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性 3.1.2定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 ∑:x()=Ax(1)+Bn(1) (3.1) 其中,x()∈R,l()∈Rl,A∈Rm,B∈R(单输入),且初始条件为x(D)=x(O)。 如果施加一个无约束的控制信号,在有限的时间间隔to≤t≤t内,使初始状态转移到 任一终止状态,则称由式(3.1)描述的系统在t=t时为状态(完全)能控的。如果每一个 状态都能控,则称该系统为状态(完全)能控的。 下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性,设终止状态为状态空间原点,并设初始 时刻为零,即t=0

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 1 II、分析部分 第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由 R.E.Kalman 于 60 年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践 中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。 例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最 优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推 导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态 x(to)转 移到任一状态，则称该系统在时刻 to 是能控的。 如果系统的状态 x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻 to 是能观测的。 前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上， 虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观 测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1 节涉及到能控性，3.2 节 将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判 据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。 3.1.2 定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 Σ： x (t) = Ax(t) + Bu(t) (3.1） 其中， 1 1 ( ) , ( ) , ,       n n n n x t R u t R A R B R （单输入），且初始条件为 ( ) (0) 0 x t x t = = 。 如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 to≤t≤t1 内，使初始状态转移到 任一终止状态，则称由式（3.1）描述的系统在 t = to 时为状态(完全)能控的。如果每一个 状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。 下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始 时刻为零，即 to=0

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 由上一章的内容可知,式(3.1)的解为 x()=ex(0) 利用状态能控性的定义,可得 (t)=0=ex(0) Bu(r)dr (0)=-e-B(r)dr 将e-4写为A的有限项的形式,即 (3.3) 将式(3.3)代入式(3.2),可得 x(0)=-2ABLa,(ru(r)dr (3.4) a,(t)u(r)dr=Bk 则式(3.4)成为 (0) A"BB B Bi -[B:AB∷…A"Bj B 如果系统是状态能控的,那么给定任一初始状态x(0),都应满足式(3.5)。这就要求 n维矩阵 Q=[B:AB∷…AmB 的秩为n 由此分析,可将状态能控性的代数判据归纳为:当且仅当n×n维矩阵Q满秩,即 nko= rank[B: AB::A"B=n 时,由式(3.1)确定的系统才是状态能控的。 上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时,如果系统的状态方程为 Ax+ Bu 式中,x()∈R”,l(1)∈R,A∈R",B∈R",那么可以证明,状态能控性的条件为n 2

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 2 由上一章的内容可知，式(3.1)的解为  − = + t o At A t x t e x e d (  ) ( ) (0) 利用状态能控性的定义，可得    x t e x e Bu d t o At A t ( ) 0 (0) ( ) 1 1 1 ( ) 1  − = = + 或  − = − 1 0 (0) ( ) t A x e Bu  d  (3.2) 将 A e − 写为 A 的有限项的形式，即  − = − = 1 0 ( ) n k k k A e   A  (3.3) 将式(3.3)代入式（3.2），可得   − = = − 1 0 0 1 (0) ( ) ( ) n k t k k x A B a  u  d (3.4) 记  = 1 0 ( ) ( ) t ak u d  k    则式(3.4)成为                     • • • = − = − − − − =  1 1 0 1 1 0 [ ] (0) n n n k k k B AB A B x A B       (3.5) 如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态 x(0)，都应满足式（3.5）。这就要求 n ×n 维矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   的秩为 n。 由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当 n×n 维矩阵 Q 满秩，即 rankQ rank B AB A B n n = = − [ ] 1   时，由式（3.1）确定的系统才是状态能控的。 上述结论也可推广到控制向量 u 为 r 维的情况。此时，如果系统的状态方程为 x  = Ax + Bu 式中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  ，那么可以证明，状态能控性的条件为 n×

《现代控制理论基础》第三章(讲义) nr维矩阵 Q=[B:AB∷…:AmB 的秩为n,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常,我们称矩阵 Q=[B:AB:…:AnB] 能控性矩阵 [例3.1]考虑由下式确定的系统: 由于 det o= det [ B: AB 0 即Q为奇异,所以该系统是状态不能控的 [例3.2]考虑由下式确定的系统: 对于该情况, det o= det B: ABJ= ≠ 即Q为非奇异,因此系统是状态能控的。 3.13状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外,本小节将给出一种相当直观 的方法,这就是从标准形的角度给出的判据 考虑如下的线性系统 x= Ax+ Bu 式中,x(1)∈R”,u(1)∈R,A∈R"",B∈R", 如果A的特征向量互不相同,则可找到一个非奇异线性变换矩阵P,使得 qg!1,2,…n} 注意,如果A的特征值相异,那么A的特征向量也互不相同;然而,反过来不成立。例 如,具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意, 矩阵P的每一列是与λi(1=1,2,…,m有联系的A的一个特征向量 设

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 3 nr 维矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   的秩为 n，或者说其中的 n 个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   能控性矩阵。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.1] 考虑由下式确定的系统： u x x x x       +            − =      1 0 0 1 1 1 2 1 2 1   由于 0 0 0 1 1 detQ = det[B  AB] = = 即 Q 为奇异，所以该系统是状态不能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.2] 考虑由下式确定的系统： u x x x x       +            − =      1 0 2 1 1 1 2 1 2 1   对于该情况， 0 1 1 0 1 det det[ ]  − Q = B  AB = 即 Q 为非奇异，因此系统是状态能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ 3.1.3 状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观 的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。 考虑如下的线性系统 x  = Ax + Bu (3.6) 式中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  。 如果 A 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 P，使得 P AP diag1 ,2 , ,n  −1 =  =  注意，如果 A 的特征值相异，那么 A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例 如，具有相重特征值的 n×n 维实对称矩阵也有可能有 n 个互不相同的特征向量。还应注意， 矩阵 P 的每一列是与λi (i=1,2, …，n)有联系的 A 的一个特征向量。 设

《现代控制理论基础》第三章(讲义) (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),可得 P-lAP=+p-Bu 定义 B=r=U) 则可将式(3.8)重写为 =121+f1l1+f1,2+…+f,l 2=12-2+f21l1+f22+…+f2l an=n+fmu,+f 如果n×r维矩阵r的任一行元素全为零,那么对应的状态变量就不能由任一u,来控制。 由于状态能控的条件是A的特征向量互异,因此当且仅当输入矩阵=P-B没有一行的所 有元素均为零时,系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时,应特别注意,必 须将式(3.8)的矩阵PAP转换成对角线形式 如果式(3.6)中的矩阵A不具有互异的特征向量,则不能将其化为对角线形式。在这 种情况下,可将A化为 Jordan标准形。例如,若A的特征值分别λ,λ,λ,λ,λ,λ6,…, n,并且有n-3个互异的特征向量,那么A的 Jordan标准形为 0A1 0x1 0x4 其中,在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为 Jordan块。 假设能找到一个变换矩阵S,使得 S AS=J 如果利用 S 定义一个新的状态向量z,将式(3.9)代入式(3.6)中,可得到

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 4 x = P z (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6)，可得 z P APz P Bu −1 −1  = + (3.8) 定义 ( ) 1 ij P B =  = f − 则可将式（3.8）重写为 n n n n n nr r r r r r z z f u f u f u z z f u f u f u z z f u f u f u = + + + + = + + + + = + + + +        1 1 2 2 2 2 2 21 1 22 2 2 1 1 1 11 1 12 2 1    如果 n×r 维矩阵 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一 i u 来控制。 由于状态能控的条件是 A 的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵 P B −1  = 没有一行的所 有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必 须将式（3.8）的矩阵 P AP −1 转换成对角线形式。 如果式（3.6）中的矩阵 A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这 种情况下，可将 A 化为 Jordan 标准形。例如，若 A 的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,…, λn,并且有 n - 3 个互异的特征向量，那么 A 的 Jordan 标准形为                                 = n J        0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 6 4 4 1 1 1    其中，在主对角线上的 3×3 和 2×2 子矩阵称为 Jordan 块。 假设能找到一个变换矩阵 S，使得 S AS = J −1 如果利用 x = S z (3.9) 定义一个新的状态向量 z，将式（3.9）代入式（3.6）中，可得到

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 三=S-1AS=+SBt (3.10) 从而式(3.6)确定的系统的状态能控性条件可表述为:当且仅当(1)式(3.10)中的矩阵 J中没有两个 Jordan块与同一特征值有关;(2)与每个 Jordan块最后一行相对应的 I=S-B的任一行元素不全为零:(3)对应于不同特征值的I=SB的每一行的元素不 全为零时,则系统是状态能控的。 [例3.3]下列系统是状态能控的: xI x 0 1000 0 下列系统是状态不能控的 2 0 0-00 000 0 0 3.1.4用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相 约,那么在被约去的模态中,系统不能控

《现代控制理论基础》第三章(讲义) 5 Jz u z S ASz S Bu = +  = + −1 −1  (3.10) 从而式（3.6）确定的系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当（1）式（3.10）中的矩阵 J 中没有两个 Jordan 块与同一特征值有关；（2）与每个 Jordan 块最后一行相对应的 S B −1  = 的任一行元素不全为零；（3）对应于不同特征值的 S B −1  = 的每一行的元素不 全为零时，则系统是状态能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.3] 下列系统是状态能控的： u x x x x       +            − − =      5 2 0 2 1 0 2 1 2 1                         +                                 − − − − − =                           +                     − − − =           2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 5 5 1 0 0 2 0 2 1 2 1 0 0 3 4 0 0 0 2 0 1 0 1 1 0 u u x x x x x x x x x x u x x x x x x        下列系统是状态不能控的： u x x x x x x x x x x u u x x x x x x u x x x x                 +                                 − − − − − =                                 +                     − − − =                 +            − − =      0 3 1 2 4 0 0 5 5 1 0 0 2 0 2 1 2 1 0 0 3 0 0 0 4 2 0 0 2 0 1 0 1 1 0 0 2 0 2 1 0 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1           ------------------------------------------------------------------------------ 3.1.4 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相 约，那么在被约去的模态中，系统不能控