这个问题，还可以有另一种解法，即在u(x,)中直接代入 而后就能将u(x,)化成f(z)+f广(2/2的形式 e=()°-()°=2+1 同样也能求出f(z)=z2+iC. 解析函数的实部、虚部之间的这种互相依赖关系，还可以形 象化表现出来.如果在平面上作一族曲线，(z,)=常数，那么， 这一族曲线的切线的方向矢量便是(0u/ay,-⑦u/x),同样，再作 一族曲线，v(x,)=常数，它们的切线的方向矢量当然也就是 (u/y,-v/az)·由Cauchy-Riemann方程，可以求得这两族方向 矢量之间的标积 ( au/8y -8v18x 器的+院=02 这表明，这两族曲线是互相正交的.图2.2中给出了两个这样的例 子.它们分别是函数w=z2和w=1/22,图中的粗实线表示实部 (x,)=常数，细实线表示虚部(x,)=常数 (a)w=2 (b)=1/:2 图2.2 进一步的问题是：任意一个二元函数，是否都可以用来作解析 函数的实部或虚部呢？回答是否定的.这是因为32节中将证明
作为解析函数的实部和虚部，u(,)和（红，），它们的二阶偏导 数一定存在并且连续，因此，根据Cauchy-Riemann方程，有 器-品部- =品(》品 票-品（器）-器带-品-器 这说明，u(,)和(，)都必须满足二维Laplace方程 紧+特祭+等0 (2.5) 即解析函数的实部和虚部都必须是调和函数， 函数的解析性，是一个很高的要求，这表现为解析函数具有 一系列的重要性质.讨论解析函数的各种特殊性质，就是复变函数 论的中心课题. 函数的解析性，总是和一定的区域联系在一起的.有时我们 也说函数在某点解析，这应该理解为函数在该点及其邻域内是处 处可导的. 如果一个函数在某点0无定义，或者在0虽有定义但不可 导，或者在0虽可导但不解析，则0称为函数的奇点.例如，名=0 就是函数w=1/z的奇点. 如果要讨论函数f(z)在：=∞点是否解析，则需作变换t= 1/z,然后讨论函数f(1/)在t=0点是否解析即可. 练习2.3证明： 品e+a-e+ge dz Uee-+e2, dz dfe=e9a)-Je9包，≠0 dz g(z) 92(2) oe)-fgue9e 练习2.4举例说明中值定理不适用于解析函数：若函数∫(2)在G中 19
解析，1和2以及连结两点的线段均在G中，在此线段上不一定存在如 点，使得 2）-2=fP(2o 1-22 练习2.5假设函数f(z)在区域G内的任何一点都满足'(2)=0，证 明∫(2)在G内为带数. 练习2.8若函数f()在区城G内解析，且Imf(z)=0,证明(z)在 G内为常数. 练习2.7若函数J(z)=u(红，y)+iw(z,)在区域G内解析，且au(x,)+ bu(x,y)=c,a,b和c是不为0的实常数，证明f(z)必为常数. 如果a,6和c是不为0的复常数，这个结论还成立吗？ 2.3初等函数 本节介绍一些基本的解析函数，例如幂函数2”，指数函数e2, 三角函数sin名，cos,.,双曲函数imh之，coshz,等等.它们都 可以看成是相应实变函数在复数域中的推广，这里将着重讨论这 些函数作为复变函数所特有的那些性质， 幂函数z” 当n=0,1,2,.时，zn在全平面解析，且当n=1,2,.时， z=0是奇点， 当n=-1,-2,-3,.时，2除z=0外处处解析，在x=o0 也解析， (2")'=nzn-1. 指数函数e e:=ettiv =e*(cosy+isiny) 由实指数函数及纯虚数指数函数的性质，容易看出，“指数函 数相乘等于指数相加”这个运算法则，对于复指数函数仍然成立. e1,e2=e21+iw1e22+iw2=e21·e29,e1,ew2 =e21+z2,e(1+w2)=er1+z)+i1+v2）=e21+2 20
e在全平面解析 (e)'=e=. 但®在无穷远点无定义.例如，当z沿正实轴、负实轴或虚轴趋于 oo时，e逼近不同的值.所以，z=o∞是指数函数e2的奇点， 复指数函数特有的一个性质是周期性，其周期为2， e+i =ei(v+)=e*[cos(y+2)+isin(y+2m) e [cosy+isin y]ettiv=e. 练习2.8如果x沿不同辐角方向趋于无穷远点，试讨论函数e2的变 化趋势. 又设常数a≠0，试设计一个无穷序列{n},使z依此序列趋于无穷 远点时，函数e2趋于a, 三角函数sin2,cos之，. 复三角函数sin2,cosz可以用复指数函数定义， sin名=e-ei 2i cosz=e“+ei 2 (2.6) 由于e”与ei在全平面解析，所以，sinz,cosz也在全平面解析， (sin 2)'=cos z,(cos z)'=-sin z. z=0是它们的唯一奇点. 和实三角函数一样，si如z和cosz都是周期函数，周期为2m 和实三角函数不同，sinz和cosz的模可以大于1·例如， 1i=。-1.1752012, 2 =1.5430806. 2 其他三角函数，tanz,cotz,sec名，cscz可以用sinz和cosz定 义，形式和实数时一样， tans-sing 1 1 coSz' 21
根据这些定义，容易证明，实三角函数的各种恒等式对于复 三角函数仍然成立.这里就不一一列举了· 练习2.9证明下列恒等式： sin2z+cos2z =1: sin(z1±z2)=sin1cosz2±cosz1sin2 cos(z1±z2)=cosz1cosz2干sinz1sinz2 双曲函数sinhz,cosh z, 双曲函数sinhz,cosh2也是通过复指数函数定义的. sinh:=e'=e-: 2 cosh=e+ 2 (2.7a) tank&=sinh之 cosh z cosh coth z= sinhz (2.7b) sech=coshs 1 csch 2=sinh 1 (2.7c) 由定义可以直接证明，双曲函数和三角函数是可以互化的， sinhz=-isin iz, cosh z cosiz,tanh z=-itaniz. 因此，双曲函数的性质完全可以由三角函数推出，这里只想特别指 出两点：一是周期性，双曲函数sinh名，coshz的周期是2ri;二是导 数公式 (sinh z)'=coshz,(cosh z)'=sinhz,(tanh z)'=sech2:.(2.8) 练习210证明下列公式： cosh2z-sinh2z=1; 1-tanh2=sech2:; Isinhyl≤sin(x+iyl≤cosh |sinh≤cos(x+iyl≤cosh y; sinh(z1±z2）=sinhz1 cosh z2±cosh z1 sinhz2; cosh(a1±z2）=coshz1 cosh2±sinhz1 sinhz2 22