换w=1/z就建立了复数z和复数w之间的一一对应关系.复数 z=0对应于w=00,而z=0对应于w=0. 1.7正十七边形问题 作为本章的结束，我们介绍一个饶有兴趣的问题，即正十七边 形的几何作图问题.为了确定起见，假设正十七边形的边长为α， 内接于单位圆.显然，a=2sin(π/17)·可以采用复数方法求出a 的代数表达式，因而也就解决了正十七边形的几何作图问题. 设x=e2i/17,由于x°，x2,x2,.,x16都是方程x17-1=0的 根，因此有 x°+x3+x2+.+x16=0, 或x1+x2+x3+.+x16=-1,令 9=x+x9+x+x9°+.+x97 =x2+x9+x3+x5+x16+x8+x4+x2, g=x3+x39+x3+.+2316 =x3+x10+x3+x1+x14+x7+x2+x6 在得到这两式时用到了x”=1以及 92=4×17+13, g3=42×17+15, 33=1×17+10, 35=14×17+5, 显然 8+8=-1
将s和s直接相乘，即可验证 8s=-4. 在复平面上标出°，x',·,x6的位置.可以看出，这些点均匀地分 布在单位圆上，而且，x与x6,x9与x8,x3与x4以及x15与 x2都互为共轭，这说明s一定为实数，并且从x,x2,x4和x8 各点的具体位置可以进一步断定8为正，因此 s=2(7-1,g=-号(+1). 再进一步将s和。拆成两组数之和： p=x+x23+x16+x4,p=x°+x6+x8+x2, 9=x3+x3+x4+x,q=x0+x”+x2+z6 容易验证 p+十p=8, pp=-1, q+g=8, 9g=-1. 所以 p=2(+Vs2+4,9=2(g+V2+4 再令 r=x+x16,=x3+x4 显然，又有 r+r'=p,rr'=q, 所以 r=+=2oe=(+Vp-4可 最后，就求得 a=2-r. 用几何作图法可以作出s,户g和，因而也就求出了正十七边 形的边长a, 14
第二章解析函数 2.1导数 设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内的某点2， ▣，是==+a-f@ Az (2.1) 存在，则称函数f(z)在z点可导，而此极限值，记为'()，即称 为f(z)在z点的导数. 需要强调，这里所说的m。(△u/△)存在，就意味着△z以 任意方式趋于0时，△w/△z都趋于同样的有限值，反过来说， 如果当△z以不同方式趋于0，△w/△z趋于不同的值的话，则 m,(△u/△)是不存在的. 特别是，考虑△z→0的两种特殊方式，就可以得到函数可导 的必要条件。 ·△x+0，△y=0, r)=会=一"=架+ △w △r ·△x=0，△y→0， e=铝=-需-瑞 因此 器架器器 (2.2) 这两个方程称为Cauchy-Riemann方程. Cauchy-Riemann方程，是函数可导的必要条件，但不是充分条 件.这是容易理解的，因为它只是保证了当△z以平行于实轴和虚 15
轴这两种特殊方式趋于0时△w/△z逼近同一个值，但并不足以保 证当△z以任意方式趋于0时△w/△z逼近同一个值 但是，可以证明，如果f(z)=u(x,)+i(红，)的四个偏导数 au/az,au/ag,au/z和au/ay连续，且满足Cauchy-Riemann方程， 则函数f(z)可导. 练习2.1证明：Cauchy-Riemann方程等价于 影- 练习2.2证明： -(）°+()°-()+() ()°+（瑞）=()°+() = 和实数情形一样，如果函数f(z)在：点可导，则在x点必连 续；但是函数在某点连续，并不能推出函数在该点可导，甚至有这 样的情况：函数在某区域内处处连续，却处处不可导。 由于导数的定义在形式上和实数中一样，只是把自变量x换 成了2·因此，在高等数学中的各种求导数的公式都可以搬用到复 数中来.例如 (zy=nzn-1,n=0,1,2,. 上面关于导数的定义，原则上只适用于有限远处.若函数在∞ 点及其邻域内有定义，形式上也可以套用有限远处的求导公式.这 相当于把有限远处的导数值连续地延拓到∞点， 导数的几何意义设w=f(2)在z点可导，则 能=f回或d加=fe)a (2.3) 根据复数乘法的几何意义可以看出（见图21），'(2)的模f(2川， 表示把微元dz映射为du的伸缩率（放大倍数），而f'(z)的辐角 argf'(z),则给出映射的偏转角，即dw与dz的辐角差. 16
切平面 图21导数的几何意义 ldwl =f'(ld:l,argdw arg f'(=)argds 2.2解析函数 在区域G内每一点都可导的函数，称为G内的解析函数.例 如，z”就是全平面上的解析函数 显然，函数w=f(z)在G内解析的必要条件是在G内处处满 足Cauchy-Riemann方程，Cauchy-Riemann方程反映了解析函数的 实部与虚部之间的联系。 解析函数的实部和虚部不是独立的.知道了其中之一，例如 实部u(x,）),根据Cauchy-Riemann方程，就可以唯一地（可差 个可加常数)确定虚部.这是因为 d如-器r+80ay=0r+80y 是全微分，因此，通过积分 可以唯一地确定v(红，y)· 同样，已知解析函数的虚部（红，），也可以唯一地（也是可差 一个可加常数)确定其实部(x,)· 例2.1已知u(红，)=x2-y2,求f(z). 解d加=器+贺=t如+，所以u=+C, f2)=(x2-y2）+i(2xy+C)=z2+iC. 17