2.4多值函数 上面讲的都是单值函数，即给定一个自变量值，只有一个函 数值与之对应.在初等函数中，除了这些函数外，还有它们的反函 数，即根式函数，对数函数，反三角函数，等等，它们都是多值函 数.多值函数的概念及其应用，在复变函数中占有重要地位，本节 只介绍根式函数及对数函数，并通过这两种函数阐述多值函数的 一些基本概念，别的多值函数都可以用这两种多值函数表达 1.根式函数√2-a 首先给出根式函数的定义，或者说给出开方运算的定义.给定 一个自变量值z,我们把凡是满足等式w2=z的w值，就定义为 根式函数√E的函数值，或者说是z的平方根.它是幂函数z2=u 即”=z2的反函数.下面我们将看到，对应于一个自变量值z, 根式函数√可取两个值. 为了更清楚地看出多值函数的性质，现在仔细分析一下函数 w Vz-a. (2.9) 如果采用极坐标表达式 w=pe,之-a=re 代入则有p2e20=re9,所以p2=m,20=日+2nm, p=听= 2+nm, n=0,±1，±2，. 因此，对于给定的一个x值，有两个w值与之对应 w1(z）=VFei/2 (相当于上面的n=0,±2，) w2()=VFe+/2)=-Fe92(相当于n=士1，±3，) 这里，函数的多值性来源于辐角的多值性，准确地说，来源于宗量 z一a(而不是自变量z)辐角的多值性.多值性的表现则是函数w的 23
辐角.为了确定起见，我们以后就把函数地=√2-a明确表示成 lwl=vlz -al,argw=arg(z-a). (2.10) 为了更进一步揭示多值函数w=√2-a的性质，现在不妨规 定好z平面上某一点arg(z-a)的值，而后研究z沿一定曲线连续 变化时，相应的w值的连续变化，当z沿一定简单闭合曲线（即自 身不相交的闭合曲线，变化一周回到原处时，我们发现，可能出现 两种结果.一种结果是，闭合曲线内不包含a点，例如图2.3中的 C,z沿C1变化一周回到原处时，arg(z-a)也还原，因此对应 的函数值不变.另一种结果是，闭合曲线内含有α点，例如图2.3 中的C2,当z沿C2变化一周回到原处时，arg(z-a)增加2π， rgw随之增加π，因而w值并不还原. z平面 。平面 x平面 切平面 图2.3z沿闭合曲线一周回到原处时，函数值w三√2一ā的不同变化 从上面的分析中可以看出，a点在多值函数w=√2-a中具 有特殊的地位：当z绕α点转一圈回到原处时，对应的函数值不还 24
原；而当z不绕a点转一圈回到原处时，函数值还原.a点称为 多值函数w=V2-a的枝点. 同样可以看出，z=o∞也是多值函数w=√2-a的枝点.这 是因为，如果作一个足够大的闭合曲线，当z沿这个闭合曲线变化 一周回到原处时，w值一定不还原（只要这个闭合曲线足够大，就 一定会把a点包含在内)，而这样的闭合曲线，同时又可以看成是 绕∞点一圈，这样也就是说，当z绕∞点一周回到原处时，函数 值也不还原，因此，∞点也是w=V2一a枝点， 这样看来，为了完全确定多值函数w=√2-a的函数值与自 变量z值之间的对应关系，我们可以采用两种办法 比较简单的办法是规定宗量x一a的辐角变化范围。当宗量 z一α的辐角限制在某个周期内时，w=√2一a的辐角也就唯一地 确定了，因而w值也就唯一地确定.例如，规定0≤arg(z-a)<2m 或2m≤arg(z-a)<4r，等等. 作为一个例子，设w=V2-1,规定0≤arg(z-1)<2π，求 w(2),w(i),w(0),w(-i). 解agw=2arg(z-1).因为0≤ag(e-1)<2m，所以 arg(2-1儿：=2=0， w(2)=1, 如ge-儿=， w()=2e3i/8、 arg(2-1川=0=元， w(0)=ei/2=i, ag-川.4=身，(-=2cn 显然，在辐角规定0≤arg(z-a)<2m下，w的辐角一定限 制在0≤argw<T,即被限制在上半平面.在这样的限制下， w=V2-ā值与自变量z值之间存在一一对应的关系.如果规定 2π≤arg(z-a)<4r,则π≤argw<2r,w将限制在下半平面， w值与自变量z值又有新的一一对应关系.在4π≤arg(z-a)<6π， 6r≤argz-a)<8π，.或-2r≤arg(z-a)<0,-4r≤arg(z-a)< 25
-2π，.的规定之下，还会重复出现这些结果.由于它们并不给出 新结果，所以也就不必讨论了， 这样看来，只要适当规定宗量的辐角变化范围，就可以将多 值函数单值化.辐角变化的各个周期，给出多值函数的各个单值分 枝.每个单值分枝都是单值函数，整个多值函数就是它的各个单值 分枝的总和.在上面的讨论中，多值函数w=√2-a有两个单值 分枝，分别是w的上半平面和下半平面： 0≤arg(z-a)<2r给出单值分枝I:0≤argw<元， 2m≤arg(z-a)<4r给出单值分枝Ⅱ：r≤argu<2m 将多值函数划分为若干个（甚至无穷个单值分枝，其实质就是 限制z的变化方式，例如在上面的例子中，就是限制z不得绕z=。 点或∞点转圈。这种规定可以用几何方法形象化地表现出来（见 图2.4)·在z平面上平行于实轴从z=α点向右作一割线，一直延 续到∞点.如果规定在割线上岸arg(e-a)=0,就给出单值分枝 【;如果规定在割线上岸arg(z-a)=2r,就给出单值分枝Ⅱ.这 两个单值分枝合起来，就得到一个完整的”平面，即整个多值函 数心·割线的作用，就是限制z的变化方式.由于割线连结了多 平面 地平面 g-a）二9 70 x平面 w平面 g arg(:-a)=2 图2.4多值函数w=V2-ā的两个单值分枝 26
值函数的两个枝点，z=α和∞，因此，z不再能够绕一个分枝 点转一圈了（这时，同时围绕两个分枝点转一圈还是允许的）· 应当指出，单值分枝的划分，或者说，宗量辐角变化范围的规 定不是唯一的.例如，也可以规定 -T≤arg(2-a)<T和r≤arg(z-a)<3π， 或 -3r/2≤arg(z-a)<r/2和T/2≤arg(z-a)<5m/2. 割线的作法多种多样，甚至不必是直线。只要割线连结了多值函数 的分枝点，同时适当规定割线一侧（例如上岸或下岸）的宗量辐角 值（或者等价地，规定在某一点的宗量辐角值或函数值）即可 将多值函数划分为单值分枝，其优点是，每个单值分枝都是 单值函数，因而可以像普通的单值函数那样讨论它们的解析性. 单值函数的分枝点是奇点，它不对应于哪一个单值分枝.在枝点附 近，也不存在一个只对应于一个单值分枝的邻域.这种划分的缺点 是有一定的局限性.因为它限制了宗量的辐角变化范围，就不能用 来讨论一些比较复杂的问题. 为了克服这个缺点，另一种完全确定函数值与自变量值对应 关系的办法是：规定函数w在某一点0的值，并明确说明z的连续 变化路线。当z沿这曲线连续变化时，函数”也随之连续变化· 仍以函数w=2-1为例.规定w(2)=1,讨论z沿C或C2 连续变化到原点时，函数w之值.C和C2是以z=1为圆心、1 为半径的上半圆周和下半圆周， 显然，当z沿C移动到z=0时，△arg(z-1)=开，所以 △argw=)△arg(2-1=), w(0)=ew/2=i 当z沿C2移动到z=0时，△arg(z-1)=-T，所以 △agw=△ag(z-1)=-7 w(0)=e-ir/2=-i