列完全等价于两个实数序列，因此，容易将实数序列的有关概念和 结论，推广到复数序列中 聚点给定序列{zn},若存在复数z,对于任意给定的e>0, 恒有无穷多个n满足lzn-<e,则称z为{zn}的一个聚点（或 极限点)· 一个序列可以有不止一个聚点，例如序列 就有两个聚点，士1· 特别是，对于实数序列x的聚点（也必然是实数），其中数值 最大的，称为{xn}的上极限，记为面xn;而数值最小的，称为 {红n}的下极限，记为mxn·上面的序列中，±1就分别是它的 上、下极限 有界序列和无界序列给定序列{}，如果存在一个正数 M,使对于所有的n,都有lz<M,则序列称为有界的；否 则就是无界的 Bolzano-Weierstrass定理一个有界的无穷序列至少有一 个聚点· 极限给定序列{2】，如果存在复数z,对于任意的c>0, 总能找到N(e)>0,使当n>N(e)时，有n-<e,则称{n} 收敛于z,记为 0.2=2 显然，一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一 的聚点 序列极限存在（序列收敛）的Cauchy充要条件任意给定 e>0,存在正整数N(e)>0,使对于任意正整数p,有 lZN+p -2NI <E. 一个无界序列不可能是收敛的
1.4复变函数 在这一节里，不准备给出最普遍的复变函数的定义，而只介绍 定义在复数平面上的一定区域的复变函数， 为了建立区域的概念，先要定义点集的内点 如果以某一点为圆心作一个圆，只要半径足够小，使得圆内 的所有的点都属于该点集，则称此点为点集的内点 所谓区域，是满足下列两个条件的点集：()全部都由内点 组成；(2)具有连通性，即点集中任意两点，都可以用一条折线连 接起来，折线上的点全都属于此点集. 图1.6(a)和(b)中的图形都是区域，但(c)不构成区域 图1.6区域(a)和(b)与非区城(c) 区域常用不等式表示，例如，{z<r表示以原点为圆心、， 为半径的圆内区域；0<argz<π/2表示第一象限；1mz<0表示 下半平面，等等.图1.7中给出了几个典型的区域 与区域有关的概念还有边界点和边界.所谓区域的边界点， 并不属于区域，但是以它为圆心作圆，不论半径如何小，圆内总含 有区域的点，边界点的全体就构成边界， 区域的边界还具有方向.如果沿着边界走，区域保持在左方， 则走向称为边界的正向.例如，对于环域a<<b,边界是圆周 {z=a和{a=b.对于内圆{z=a来说，边界正向是顺时针方向；
(a) (b)≥ (c)<<R 7777777777 R//0 (d)0 <argz<0 (e)Imz>0 (f)<R.mz>0 图1.7几个典型的区城（阴影在边界外侧） 对于外圆z=b来说，边界正向是逆时针方向· 区域G加上边界C就构成闭区域G.G=G+C, 设有复数平面上的一个区域G,如果对于G内的每一个z值， 都有一个或多个复数值”与之对应，则称心为：的函数一一复变 函数，记为 w=f（z) 定义域为G, 因为z=x+iy,所以 w=f（z）=u(x,)+iv(x,y） 其中u(x,)和(x,)都是x和y的实函数. 一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合， 1.5复变函数的极限和连续 和实变函数一样，复变函数也有极限和连续的概念.这里简单
介绍一下这两个概念和有关结论. 设函数f(z)在0点的邻域内有定义，如果存在复数A,对于 任意的ε>0，总能找到一个(e)>0,使当l2-0l<6时，恒有 If(z)-A川<e,则称z→o时f(z)的极限(=A)存在，且表示为 m。fe)=A. 设函数f(a)在0点及其邻域内有定义，且。f(e)=2o), 即对于任意的e>0,存在(e)>0,使当1z-ol<6时，恒有 1f(z)-f(zo川<e,则称f(z)在o点连续. 可以看出，复变函数中极限和连续概念的表述，在形式上和 实变函数中完全相同.但是，由于所涉及的数的变化范围不同（一 个是在复数平面上变化，一个只限于在实轴上变化)，因此，实际 含义并不完全相同， 函数在区域G内每一点都连续，称为在G内连续 在闭区域G中连续的函数具有两个重要性质： 1.f(z川在石中有界，并达到它的上下界； 2.f(2)在G中一致连续，即对于任意的e>0,存在与z无关 的(e)>0,使G中的任何两个点21和2，只要满足lz1-z2<6, 就有f(a1)-f(2<e· 和实变函数的情形一样，连续函数的和、差、积、商（在分母 不为零的点)，以及连续函数的复合函数仍是连续函数， 1.6无穷远点 在1.3节中介绍过有界序列和无界序列的概念，以及有界序列 必有聚点的结论.对于无界序列{}，给定任意正数M,不存在 一个正整数N,使当n>N时，|nl<M,换句话说，总有无穷 多个n满足|zn>M,这时可以仿照序列在有限远处的聚点的概 念，称无穷远点（记为0点）为无界序列的一个聚点.当然在有限 11
远处无界序列也可能有聚点.例如z=1和z=∞就是序列 2n=1,2,1,4,1,6,1,8,. 的两个聚点， 更进一步，如果一个无界序列在有限远处无聚点，那么，∞ 点就是它的唯一的一个聚点，或称无界序列收敛于∞点. 这样，我们就完成了对于数的概念的扩充，即把无穷远点也 定义为一个数，其模大于任何正数，辐角不定，在复数平面上也存 在相应的一点，以任意方式无限地远离原点，即可到达无穷远点， 包括有无穷远点的复数平面称为扩充了的复数平面. 为了更直观地表现无穷远点，还可以引进复数球面.过复数 平面上的原点(0,0)作一个直径为1的球面，使与复数平面相切， 切点称为南极.过南极的直径 的另一端点称为北极N,适 当定义球面坐标(8，)，例如 使中=0和π的两个半平面与 复数平面相交于正负实轴，而 日=0和r则对应于北极和南 极，这样定义的球面就称为复 图1.8复数球面 数球面，如图1.8. 对于复数平面上一点z,将它和复数球面的北极N相连，此 连线和球面必有一交点，这就是说，复数球面上的点和复数平面上 的点也存在一一对应的关系。于是，就可以用复数球面上的这个交 点来表示复数：·例如南极对应于复数0，赤道对应于复数平面上 的单位圆.让复数平面上的点无限地远离原，点，就得到无穷远点在 复数球面上的对应点一北极N 练习1.6试求出复平面上的点(a,b)和复数球面上的点(0，)之间的 函数关系。 对于无穷远点，还可以用变换（或映射）的语言定义，例如变 12